Решение задач по физике и математике.



Л.Э.Эльсгольц. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


В учебнике приводятся основные понятия и теоремы по курсу дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакторов серии  8

ЧАСТЬ I                8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Введение          9

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка   15

§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными    19

§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными   24

§ 4. Линейные уравнения первого порядка   27

§ 5. Уравнения в полных дифференциалах    32

§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения             РИСУНОК 39

§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61

§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной   68

§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения           75

Задачи к главе 1             82

Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого      85

§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения п-го порядка              85

§ 2. Простейшие случаи понижения порядка               87

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка              93

§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера  107

§ 5. Линейные неоднородные уравнения      113

§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера  124

§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов   137

§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний  147

§ 9. Понятие о краевых задачах            159

Задачи к главе 2             165

Глава 3. Системы дифференциальных уравнений      168

§ 1. Общие понятия     168

§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка              171

§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций            178

§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений        181

§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами               192

§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений и-го порядка  199

Задачи к главе 3             201

Глава 4. Теория устойчивости 203

§ 1. Основные понятия              203

§ 2. Простейшие типы точек покоя     206

§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова       215

§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению         221

§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней            многочлена 227

§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка         230

§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях            234

Задачи к главе 4             238

Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка             241

§ 1. Основные понятия              241

§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных             первого порядка 243

§ 3. Уравнения Пфаффа              255

§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка             260

Задачи к главе 5             278

ЧАСТЫ1

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Введение          280

Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами      284

§ 1. Вариация и ее свойства     284

§ 2. Уравнение Эйлера              292

§ 3. Функционалы вида РИСУНОК 305

§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка     308

§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых              312

переменных

§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме            317

§ 7. Некоторые приложения  320

Задачи к главе б             324

Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые другие задачи        327

§ 1. Простейшая задача с подвижными границами    327

§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида РИСУНОК     334

§ 3. Экстремали с угловыми точками 338

§ 4. Односторонние вариации               346

Задача к главе 7             349

Глава 8. Достаточные условия экстремума    351

§ 1. Поле экстремалей               351

§ 2. Функция РИСУНОК               357

§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду        368

Задачи к главе 8             373

Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум         375

§ 1. Связи вида РИСУНОК          375

§ 2. Связи вида РИСУНОК          382

§ 3. Изопериметрические задачи        385

Задачи к главе 9             393

Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах  394

§ 1. Прямые методы    394

§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера          395

§3. Метод Ритца            397

§ 4. Метод Канторовича            406

Задачи к главе 10           412

Ответы и указания к задачам  414

Рекомендуемая литература   421

Предметный указатель             422
Скачать учебник


.