Решение задач по физике и математике.



Анти-Демидович. А.К.Боярчук, Г.П.Головач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Справочное пособие по высшей математике. Т. 5


«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций
комплексной переменной. Том 5 охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным
уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики. Наряду с минимальными теоретическими сведениями в нем содержится более семисот детально разобранных примеров. Среди вопросов, нестандартных для такого рода пособий, следует отметить примеры по теории продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных уравнений. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.

Оглавление
Предисловие 3
Введение 4
Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений 4
Основные определения Задача Коши Построение
дифференциального уравнения по заданному семейству кривых
Примеры
Упражнения для самостоятельной работы 10
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 11
§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными 11
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Разделение переменных линейной заменой аргумента. Примеры

§2. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с 15
разделяющимися переменными
Использование геометрического смысла производной.
Использование физического смысла производной. Примеры.
§ 3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 29
Однородное уравнение. Уравнение, сводимое к однородному.
Обобщенно-однородное уравнение. Примеры.
§ 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 39
Линейное уравнение первого порядка. Обмен ролями между функцией и аргументом. Уравнения, приводимые к линейным
C9) Уравнение Миндинга — Дарбу. Примеры.
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 53
Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий
Множитель. Дифференциальное уравнение для интегрирующего
Множителя. Примеры.
§ 6. Уравнение Эйлера — Риккати 67
Уравнение Эйлера — Риккати. Специальное уравнение Риккати.
Каноническое уравнение Эйлера — Риккати. Примеры.
§ 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной 73
Уравнение, не разрешенное относительно производной. Общий
интеграл уравнения F(y’)=0. Представление решения в
параметрической форме. Разрешение неполных уравнений.
Примеры.
§ 8. Существование и единственность решения 82
Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда. Существование и
единственность решения задачи Коши для уравнения, не
разрешенного относительно производной. Продолжение решения
задачи Коши. Существование и единственность решения
векторной задачи Коши. Примеры (83)
§ 9. Особые решения 99
Особое решение. Дискриминантная кривая. Огибающая как особое
Решение. Примеры.
§ 10. Задачи на траектории 106
Изогональные и ортогональные траектории. Эволюта и
Эвольвента. Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 112
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 114
§ 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений 114
Дифференциальное уравнение вида F(x,y(n)) = 0. Дифференциальное уравнение вида F(y{n~X),yw) = Q. Дифференциальное уравнение вида F{y(n~2) ,у(п)) = 0. Примеры.
§ 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 122
Дифференциальное уравнение вида F{x,y(k),y(k+v>,…,у(п)) = 0. Дифференциальное уравнение вида F(y,y},…,y^) = 0. Однородное дифференциальное уравнение вида F{x,y,y},…,у(п)) = 0. Обобщенное однородное дифференциальное уравнение вида F(x,y,y ,…,y{n)) = 0. Уравнение, приводимое к виду (ф,у,У,…,у(п-1))У= 0. Примеры.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными 135
коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение п -го порядка с постоянными
коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение. Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных
коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных. Метод Коши нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с
постоянными коэффициентами. Примеры.
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 150
Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейно зависимые функции. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости функций. Фундаментальная система решений A51) Формула Остроградского— Лиувилля. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева. Дифференциальные уравнения второго порядка. Связь между линейным дифференциальным уравнением второго порядка и уравнением Эйлера — Риккати. Сведение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений второго порядка. Примеры.
§ 5. Краевые задачи 169
Определение краевой задачи. Функция Грина краевой задачи. Задача Штурма — Лиувилля. Условие эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению. Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 180
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 182
§ 1. Линейные системы 182
Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Фундаментальная матрица уравнения. Определитель Вронского. Метод вариации произвольного вектора. Матрицант. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Примеры A84) .
§ 2. Нелинейные системы 200
Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Подбор интегрируемых комбинаций. Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 211
Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядка 212
§ 1. Линейные и квазилинейные уравнения 212
Основные понятия B12) Решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши. Уравнение Пфаффа. Примеры.
§ 2. Нелинейные уравнения первого порядка 228
Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Решение задачи о нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую. Метод Коши. Обобщение метода Коши. Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 239
Глава 5. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений 240
§ 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров 240
Об оценке погрешности приближенного решения. Об отыскании производных от решений по параметру. Примеры.
§2. Аналитические приближенные методы 246
Метод степенных рядов. Метод малого параметра B47. Примеры.
§ 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 266
Метод Эйлера к-то порядка. Метод Рунге — Кутта 4-го порядка. Метод Штермера. Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 273
Глава 6. Устойчивость и фазовые траектории 274
§ 1. Устойчивость 274
Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Исследование на устойчивость по первому приближению: первая теорема Ляпунова. Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова. Условия отрицательности всех действительных частей корней уравнения а0Х” + aft’1 +… + ап_^к + ап=0,а0>0,с действительными коэффициентами. Примеры.
§ 2. Особые точки 292
Определение особых точек и их классификация. Практические приемы исследования особых точек. Примеры.
§ 3. Фазовая плоскость 305
Основные понятия. Построение фазового портрета. Предельные циклы. Признаки отсутствия предельных циклов. Признаки наличия предельных циклов. Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 322
Глава 7. Метод интегральных преобразований Лапласа решения 323
линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства 323
Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа. Примеры.
§ 2. Свертка функций. Теоремы разложения 336
Определение свертки. Теорема умножения (Э. Бореля).
Обобщенная теорема умножения (А. М. Эфроса). Формулы
Дюамеля. Примеры.
§3. Обратное преобразование Лапласа 339
Формула обращения Римана — Меллина. Сведения из теории функций комплексного переменного. Теоремы разложения. Примеры.
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы 346
Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение уравнений с нулевыми начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля. Примеры.
§ 5. Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения 357
Интегральные уравнения типа свертки. Интегральные уравнения второго рода. Интегральные уравнения первого рода. Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля. Примеры.
§ 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными 366
Примеры.
Упражнения для самостоятельной работы 370
Ответы 372
Предметный указатель 377
Скачать учебник


.