Решение задач по физике и математике.



Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Книга хорошая.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие И
Глава 1. Основные понятия 13
§ 1. Определения 13
1.1. Поля- направлений и их интегральные кривые 13
1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, ин-
интегральные и фазовые кривые … 13
1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные урав-
уравнения 14
1.4. Диффеоморфизмы и фазовые потоки 14
1.5. Особые точки 15
1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле 16
1.7. Первые интегралы 16
1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем . . 17
1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области . . 17
1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков …. 18
1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии …. 18
§ 2. Основные теоремы 18
2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля 18
2.2. Теорема существования и единственности 19
2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений 20
2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений . . 20
2.5. Теорема о продолжении 21
2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависимости от
начальных условий и параметров 22
2.7. Уравнение в вариациях 22
2.8. Теорема о непрерывной зависимости 23
2.9. Теорема о локальном фазовом потоке 23
2.10. Теорема о первых интегралах 23
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения 23
3.1. Экспонента линейного оператора 23
3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных полей
и экспонент линейных операторов 24
3.3. Комплексификаиия фазового пространства 24
3.4. Седло, узел, фокус, центр 25
3.5. Формула Лиувилля — Остроградского 25
3.6. Линейные уравнения высших порядков 27
¦§ 4. Устойчивость 27
4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая 27
4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению 29
4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева 29
4.4. Особые точки общего положения 29
§ 5. Циклы 3°
5.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференциальных
уравнений ¦ ¦ 31
5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой. Пре-
Предельные циклы 31
5.3. Кратность циклов 32
5.4. Мультипликаторы 32
5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Беидиксона 34
§ 6. Системы с снмметриями 35
6.1. Группа симметрии дифференциального уравнения …. 35
6.2. Факторсистемы 35
6.3. Однородные уравнения 36
6.4. Использование симметрии для понижения порядка … 36
§ 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно
производной 38
7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые . . 38
7.2. Регулярные особые точки … 38
7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы …….. 39
7.4. Нормальные формы сложенных особых точек 39
7.5. Сборки … 40
§ 8. Аттракторы 41
8.1. Определения « ..к..,, 42
8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов . . 42
8.3. Приложения 43
Глава. 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях …. 44
§ 1. Структурно устойчивые уравнения на окружности и сфере . . 44
1.1. Определения 1 44
1.2. Одномерный случай 44′
1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере … 45
§ 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе …. 45
2.1. Двумерный тор и векторные поля на нем 45
2.2. Преобразование монодромии 46
2.3. Число вращения 47
§ 3. Структурно устойчивые дифференциальные уравнения на торе 47
3.1. Описание структурно устойчивых уравнений 47
3.2. Оценка числа циклов 48
§ 4. Уравнения на торе с иррациональным числом вращения . . 48
4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности повороту . . 48
4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3 . . 50
§ 5. Замечания о числе вращения 50
5.1. Число вращения как функция параметров 50
5.2. Семейства уравнений на торе . 51
5.3. Эндоморфизмы окружности 51
Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном
вещественном фазовом пространстве 51
§ 1. Топологическая классификация гиперболических особых точек 52
1.1. Теорема Гробмана — Хартмана 52
1.2. Классификация линейных систем 52
§ 2. Устойчивость по Ляпунову н проблема топологической класси-
классификации 53
2.1. О локальных задачах анализа 53
2.2 Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проблемы
устойчивости по Ляпунову 54
2.3. Алгебраическая разрешимость до вырождений конечной кораз-
коразмерности 55
2.4. Топологически нестабилизируемые струи 56
§ 3. Формальная классификация ростков векторных полей … 57
3.1. Формальные векторные поля и их эквивалентность … 57
3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре — Дюлака и их об-
обобщения 58
3.3. Приложения теории формальных нормальных форм … 59
3.4. Полиномиальные нормальные формы 60
§ 4. Инвариантные многообразия и теорема сведения …. 61
4.1. Теорема Адамара—Перрона 61
4.2. Теорема о центральном многообразии 62
4.3. Принцип сведения 63
§ 5. Критерии устойчивости и топологическая классификация особых
точек в случае вырождений малой коразмерности …. 63
5.1. Структура критериев 63
5.2. Топологическая классификация ростков гладких векторных по-
полей до вырождений коразмерности 2 включительно … 64
5.3. Фазовые портреты нормальных форм 67
5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений до ко-
коразмерности 3 включительно 68
5.5. Диаграмма примыканий 71
5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости 72
§ 6. Гладкая классификация ростков векторных полей …. 72
6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации … 72
6.2. Ростки векторных полей с симметриями 72
6.3. Квазигиперболичность 73
6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных полей 74
§ 7. Нормальные формы векторных полей, линейная часть которых —
нильпотентная жорданова клетка 74
7.1. Центрированные цепочки 74
7.2. Неубиваемые невязки 75
7.3. Стандартное представление группы SLB) и алгебры si B) 75
7.4. Продолжение ннльцотентного оператора до представления
алгебры Ли si B) 76
7.5. Окончание доказательства теоремы 76
Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном
комплексном фазовом пространстве ……. 77
§ 1. Линейные нормальные формы 77
1.1. Области Пуанкаре и Зигеля. Малые знаменатели …. 77
1.2. Сходимость нормализующих рядов 78
1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих рядов 79
1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализующих рядов 79
§2. Связь формальной и аналитической классификации …. 80
2.1. Условие А 80
2.2. Замечание 80
§ 3. Аналитические инвариантные многообразия 81
3.1. Теорема об инвариантном многообразии 81
3.2. Следствия 82
3.3. Об аналитическом центральном многообразии дифференциаль-
дифференциальных уравнений на плоскости 83
§ 4. Топологическая классификация особых точек в комплексной об-
области 84
4.1. Линейные векторные поля 84
4.2. Нелинейный случай 85
Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной ‘и комплекс-
комплексной плоскости 85
§ 1. Разрешение особенностей 85
1.1. Раздутие или о-процесс на плоскости 85
1.2. Элементарные особые точки 87
1.3. Хорошие раздутия 87
§ 2. Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек
на плоскости 88
2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай … 88
2.2. Нормальные формы в гладком случае 88
§ 3. Топологическая классификация сложных особых точек с харак-
характеристической траекторией 89
3.1 Основная альтернатива 89
3.2. Топологическая классификация дифференциальных уравнений
на плоскости в окрестности особой точки 90
3.3. Топологическая конечная определенность. Диаграммы Ньютона
векторных полей 91
3.4. Исследование векторных полей по главной части … 92
§ 4. Проблема различения центра и фокуса 93
4.1. Постановка проблемы 93
4.2. Алгебраическая неразрешимость 93
4.3. Центр по линейным членам 94
4.4. Нильпотентная жорданова клетка 94
4.5. Особые точки без исключительных направлений …. 95
4.6. Общий случай 96
4.7. Обобщенная первая фокусная величина 96
4.8. Полиномиальные векторные поля 96
§ 5. Аналитическая классификация элементарных особых точек в ком-
комплексной области 97
5.1. Ростки конформных отображений с тождественной линейной
частью . . 97
5.2. Классификация резонансных отображений и векторных полей
с нелинейностями общего положения 98
5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементарные осо-
особые точки 99
5.4. Геометрия аналитических нормальных форм 100
5.5. Приложения 100
5.6. Добавление об аналитических нормальных формах . . . 101
§ 6. Орбитальная топологическая классификация элементарных осо-
особых точек на комплексной плоскости 101
6.1. Нерезонансный случай 101
6.2. Седловые резонансные векторные поля 101
6.3. Вырожденные элементарные особые точки 101
Глава 6. Циклы 102
§ 1. Преобразование монодромии …. 102
1.1. Определения ]02
1.2. Реализация ЮЗ
§ 2. Локальная теория диффеоморфизмов 104
2.1. Линейные нормальные формы 104
2.2. Резонансный случай 105
2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов . . 106
2.4. Инвариантные многообразия цикла 106
2.5. Раздутия 107
§ 3. Уравнения с периодической правой частью 108
3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими
коэффициентами Ю8
3.2. Линейные нормальные формы 109
3.3. Резонансные нормальные формы 109
§ 4. Предельные циклы полиномиальных векторных полей на плос-
плоскости По
4.1. Проблема конечности и сложные циклы ПО
4.2. Преобразование монодромин сложного цикла 111
4.3. Открытые вопросы П2
4.4. Одна теорема конечности И2
4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения . . Ц2
4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени . . . . ЦЗ
§ 5. Предельные циклы систем, близких к гамильтоновым . . .113
5.1. Рождение вещественных предельных циклов ИЗ
5.2. Рождение комплексных циклов . 114
5.3 Исследование вариации 114
5.4. Ослабленная проблема Гильберта 115
5.5. Специальные случаи .116
$ 6. Полиномиальные дифференциальные уравнения на комплексной
плоскости 117
6.1. Допустимые поля 117
6.2. Полиномиальные поля 117
Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений . . 119
§ 1. Уравнения без подвижных критических точек 119
1.1. Определение 119
1.2. Подвижные критические точки уравнения первого порядка 120
1.3. Уравнения Риккати 120
1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной . . 121
1.5. Уравнения Пенлеве 121
§ 2. Локальная теория линейных уравнений с комплексным временем 122
2.1. Регулярные н иррегулярные особые точки 122
2.2. Формальная, голоморфная и мероморфная эквивалентность 124
2.3. Монодромия 124
2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой 125
2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой особой
точкой 126
2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса 127
2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в окрест-
окрестности иррегулярной особой точки 128
•§ 3. Теория линейных уравнений в целом 129
3.1. Уравнения и системы класса Фукса 129
3.2. Продолжимость и монодромня 130
3.3. Теорема Римана — Фукса 131
3.4. Аналитические функции от матриц 132
3.5. Связь с теорией клейновых групп 132
3.6. Интегрируемость в квадратурах 133
3.7. Замечания о специальных уравнениях 133
3.8. Группа монодромнн уравнения Гаусса 134
§ 4. Проблема Рнмана — Гильберта 134
4.1. Постановка проблемы 135
4.2. Проблема Рнмана — Гильберта для круга 135
4.3. Проблема Римана — Гильберта для сферы 137
4.4. Проблема Рнмана — Гильберта для фуксовых систем . . . 138
4.5. Обобщения 138
4.6. Векторные расслоения на сфере . . 139
4.7. Применения к проблеме Римана — Гильберта 139
4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве . . . 140
Литература 141
Предметный указатель 147

Скачать учебник


.