Решение задач по физике и математике.



РОМАНКО В. К. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ уравнений и ВАРИАЦИОННОГО исчисления


good book

Оглавление
Предисловие 6
Некоторые обозначения 7
Введение 8
1 Методы решения некоторых дифференциальных уравне-
уравнений 12
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений пер-
первого порядка 12
§2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
первого порядка 18
§3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относитель-
относительно производной. Метод введения параметра и задача Коши 34
§4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие по-
понятия и методы решения 41
2 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с по-
постоянными коэффициентами 52
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения
линейных уравнений с постоянными коэффициентами 52
§2. Линейные однородные уравнения порядка п с постоянными
коэффициентами 57
§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п с постоянны-
постоянными коэффициентами 65
3 Методы решения систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами 73
§ 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффици-
коэффициентами. Общие понятия и метод исключения 73
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
с постоянными коэффициентами 76
§3. Общее решение нормальной линейной неоднородной систе-
системы с постоянными коэффициентами 88
§4. Решение нормальных линейных систем с постоянными ко-
коэффициентами с помощью матричной экспоненты 94
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения
дифференциальных уравнений 103
§6. Методы решения произвольных линейных систем с постоян-
постоянными коэффициентами 108
4 Исследование задачи Коши 113
§ 1. Вспомогательные предложения 113
§2. Существование и единственность решения задачи Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений 117
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши 127
§ 4. Общее решение дифференциального уравнения 132
§ 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и на-
начальных данных. Корректность задачи Коши 135
§6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального урав-
уравнения первого порядка, не разрешенного относительно про-
производной. Особые решения 145
5 Нормальные линейные системы дифференциальных урав-
уравнений с переменными коэффициентами 152
§1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной си-
системы уравнений с переменными коэффициентами 152
§ 2. Линейные однородные системы 158
§ 3. Линейные неоднородные системы 167
6 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с пе-
переменными коэффициентами 171
§ 1. Общие свойства 171
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п 174
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п 179
§ 4. Граничные задачи 185
§ 5. Теорема Штурма 193
§ 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помо-
помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя 199
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параме-
параметром при старшей производной 205
7 Нормальные автономные системы дифференциальных
уравнений и теория устойчивости 212
§ 1. Общие свойства 212
§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной
системы второго порядка 222
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка 230
§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 241
§ 5. Первые интегралы 251
8 Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка 261
Введение 261
§ 1. Линейные однородные уравнения 263
§ 2. Квазилинейные уравнения 271
§ 3. Нелинейные уравнения 281
9 Основы вариационного исчисления 289
Введение 289
§ 1. Простейшая вариационная задача 291
§2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай
функционалов более общего интегрального типа 301
§ 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной
границей и задача Больца 310
§ 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
функционалов 318
§ 5. Изопериметрическая задача 322
§ 6. Задача Лагранжа 326
§7. Достаточные условия слабого локального экстремума 331
Литература 341
Предметный указатель 343

Скачать учебник


.