Решение задач по физике и математике.



Линейные пространства

готовые решения задачВ записи собраны решенные задачи на линейные пространства. Все задачи имеют подробные решения, они будут полезны как для сдачи готовых решений, так и для самостоятельного решения аналогичных по условию примеров. Все решения доступны в любое время, цена каждого решения от 15 рублей.

Линейные пространства

Задача 1. Имеется множество всевозможных систем действительных чисел (\xi_1;\xi_2;\cdots;\xi_n), (\eta_1;\eta_2;\cdots;\eta_n),\cdots.. Сумма двух любых элементов определяется равенством (\xi_1;\xi_2;\cdots;\xi_n)+ (\eta_1;\eta_2;\cdots;\eta_n)=(\xi_1+\eta_1;\xi_2+\eta_2;\cdots;\xi_n+\eta_n), а произведение любого элемента на любое число – равенством \lambda (\xi_1;\xi_2;\cdots;\xi_n)=(\lambda\xi_1;\lambda\xi_2;\cdots;\lambda\xi_n). Доказать, что это множество является линейным пространством. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22001
Задача 2. Показать, что если среди векторов x, y, z, \cdots , u имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22002
Задача 3. Элементами линейного пространства являются системы упорядоченных действительных чисел x_i=(\xi_{1i}, \xi_{2i}, \xi_{3i}, \cdots, \xi_{ni})(i=1,2, 3,\cdots). Какомум условию должны удовлетворять числа \xi _{ik}\;(i=1,2, \cdots, n; \;k=1,2, \cdots, n) для того, чтобы векторы x_1,x_2,\cdots,x_n были линейно независимыми, если сумма векторов и произведение вектора на число определяются равенствами  x_i+x_k=(\xi_{1i}+\xi_{1k};\xi_{2i}+\xi_{2k};\cdots,\xi_{ni}+\xi_{nk}),\lambda x_i=(\lambda\xi_{1i};\lambda\xi_{2i};\cdots;\lambda\xi_{ni}). Купить решение задачи онлайн, код задачи 22003
Задача 4. Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Доказать, что векторы  P_1=1+2t+3t^2, \;\; P_2=2+3t+4t^2, \;\; P_3=3+5t+7t^2 линейно зависимые. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22004
Задача 5. Доказать, что любые четыре вектора a,b,c,d линейно зависимы. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22005
Задача 6. Дано линейное пространство всевозможных пар упорядоченных действительных чисел x_1=(\xi_{11};\xi_{21}),x_2=(\xi_{12};\xi_{22}),x_3=(\xi_{13};\xi_{23}),\cdots , причем сложение векторов и умножение вектора на действительно число определены равенствами  x_i+x_k=(\xi_{1i}+\xi_{1k};\xi_{2i}+\xi_{2k}),\lambda x_i=(\lambda\xi_{1i}; \lambda\xi_{2i} ). Доказать, что векторы e_1=(1;2), \;\; e_2=(3;4) образуют базис данного линейного пространства. Найти координаты вектора x=(7;10) в этом базисе. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22006
Задача 7. Показать, что линейное пространство, элементами которого являются векторы x_i=(\xi_{1i}, \xi_{2i}, \xi_{3i}, \cdots, \xi_{ni})(i=1,2, 3,\cdots), сумма и умножение на число для которых определяется соотношениями  x_i+x_k=(\xi_{1i}+\xi_{1k};\xi_{2i}+\xi_{2k};\cdots,\xi_{ni}+\xi_{nk}),\lambda x_i=(\lambda\xi_{1i};\lambda\xi_{2i};\cdots;\lambda\xi_{ni}), имеет своим базисом совокупность векторов e_1=(1;0;0;\cdots;0), \; e_2=(0;1;0;\cdots;0), \cdots, e_n=(0;0;0;\cdots;1). Купить решение задачи онлайн, код задачи 22007
Задача 8. Даны два линейных пространства R и R’. Элементами пространства R являются всевозможные дифференцируемые функции аргумента t, обращающиеся в нуль при t=0. Элементами же пространства R’ являются производные функций, принадлежащих пространству R. Доказать, что пространства R и R’ изоморфны. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22008
Задача 9. Дан вектор \mathbf{x}=\mathbf{e_1}+\mathbf{e_2}+\mathbf{e_3}+\mathbf{e_4}. Разложить этот вектор по новому базису \mathbf{e_1'},\mathbf{e_2'},\mathbf{e_3'},\mathbf{e_4'}, если \mathbf{e_1'}=\mathbf{e_2}+\mathbf{e_3}+\mathbf{e_4}, \mathbf{e_2'}=\mathbf{e_1}+\mathbf{e_3}+\mathbf{e_4}, \mathbf{e_3'}=\mathbf{e_1}+\mathbf{e_2}+\mathbf{e_4}, \mathbf{e_4'}=\mathbf{e_1}+\mathbf{e_2}+\mathbf{e_3}. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22009
Задача 10. Система координат хОу повернута вокруг начала координат на угол альфа. Выразить координаты вектора \mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j} в новой системе через его координаты в старой системе. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22010
Задача 11. Найти базис и размерность подпространства решений линейной однородной системы уравнений  \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0,\\ x_1/2+x_2+3x_3/2+2x_4=0,\\ x_1/3+2x_2/3+x_3+4x_4/3=0,\\ x_1/4+x_2/2+3x_3/4+x_4=0. \end{matrix}\right Купить решение задачи онлайн, код задачи 22011
Задача 12. Найти базис и размерность подпространства решений системы уравнений \left\{\begin{matrix} x_1-2x_2+x_3=0,\\ 2x_1-x_2-x_3=0,\\-2x_1+4x_2-2x_3=0.\end{matrix}\right Купить решение задачи онлайн, код задачи 22012
Задача 13. Найти размерность и базис подпространства решений системы уравнений \left\{\begin{matrix} x_1+x_2-x_3+x_4=0,\\x_1-x_2+x_3-x_4=0,\\3x_1+x_2-x_3+x_4=0,\\3x_1-x_2+x_3-x_4=0.\end{matrix}\right Купить решение задачи онлайн, код задачи 22013
Задача 14. Показать, что преобразование Ax= \alpha x, \;\; \alpha – действительное число, является линейным. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22014
Задача 15. Преобразование А в линейном пространстве R определено равенством Ax=x+x_0, где x e R – фиксированный ненулевой вектор. Является ли преобразование А линейным? Купить решение задачи онлайн, код задачи 22015
Задача 16. Дано линейное пространство геометрических векторов. Преобразование А состоит в замене каждого вектора его составляющей по оси Ox. Является ли это преобразование линейным? Купить решение задачи онлайн, код задачи 22016
Задача 17. Найти матрицу тождественного преобразования Е в n-мерном пространстве. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22017
Задача 18. В четырехмерном линейном пространстве рассматривается линейное преобразование А. Записать это преобразование в координатной форме, если Ae_1=e_3+e_4, \;\;Ae_2=e_1+e_4, \;\; Ae_3=e_4+e2, \;\; Ae_4=e_2+e3. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22018
Задача 19. Динейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости xOy заключается в повороте каждого вектора против часово стрелки на угол альфа. Найти матричу этого линейного преобразования в координатной форме. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22019
Задача 20. Преобразование А заключается в повороте каждого вектора плоскости xOy на угол \alpha=\pi/4. Найти в координатной форме преобразование А+Е. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22020
Задача 21. Даны два линейных преобразования:\begin{matrix}x'=x+y,&\\y'=y+z,&(A)\\z'=z+x&\end{matrix} и \begin{matrix}x'=y+z,&\\y'=x+z,&(B)\\z'=x+y.&\end{matrix}. Найти преобразования АВ и ВА. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22021
Задача 22. Пусть над совокупностью векторов u=xi+yj на плоскости хОу производятся два линейных преобразования: А – замена вектора его составляющей по оси Ох; В – зеркальное отображение вектора относительно биссектрисы I и III координатных углов. Найти преобразования АВ и ВА. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22022
Задача 23. Преобразование А заключается в повороте каждого вектора плоскости хОу на угол альфа. Найти матрицу преобразования A^2. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22023
Задача 24. Линейное преобразование А заключается в повороте на угол \pi/4 каждого вектора плоскости хОу. Найти матрицу линейного преобразования B=A^2+\sqrt{2} A+E. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22024
Задача 25. Дано пространство геометрических векторов. Пусть линейное преобразование А – поворот вокруг оси Oz на угол \pi/4, а линейное преобразование В – поворот вокруг оси Ох на тот же угол. Найти матрицу линейного преобразования АВ. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22025
Задача 26. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, определяемого уравнениями x'=5x+4y, \;\; y'=8x+9y. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22026
Задача 27. Определить характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A=\left(\begin{matrix}2&1&1\\-1&2&-1\\0&0&1\end{matrix}\right). Купить решение задачи онлайн, код задачи 22027
Задача 28. Доказать, что если \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right) – симметричная матрица, а действительные числа \alpha, \beta ,\gamma отличны от нуля, то все корни характеристического уравнения матрицы A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\alpha /\beta &a_{13}\alpha /\gamma \\a_{21}\beta /\alpha &a_{22}&a_{23}\beta /\gamma \\a_{31}\gamma /\alpha &a_{32}\gamma /\beta &a_{33}\end{matrix}\right) являются действительными числами. Купить решение задачи онлайн, код задачи 22028


.