Решение задач по физике и математике.



Случайная величина и закон ее распределния

В записи рассматриваются понятия случайной величины, закон распреления случайной величины, как найти плотность распределения дискретной случайной величины и неприрывной случайной величины.

Если каждому элементарному событию щ из некоторого множества событий Щ можно поставить в соответствие определенную величину Ч = Ч(щ), то говорят, что задана случайная величина. Случайную величину X можно рассматривать как функцию события щ с областью определения Щ.

Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Х, …, а принимаемые ими значения — соответствующими строчными буквами х, у, … .

Если значения, которые может принимать данная случайная величина X, образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел хъ х2, . ..,Л^, …, то и сама случайная величина X называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина X, заполняют конечный или бесконечный промежуток ]я, Ь[ числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа хн отвечает определенная вероятность рп\ каждому промежутку ]а, Ь[ из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной, попадет в этот промежуток.

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

Xi Чч *2 *3 ... Xn

Pi Pi P2 Рз Pn

n

При этом 2 Pi~ 1» г#е суммирование распространяется на все (конечное или

t = l

бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины X. Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности f (х). Вероятность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной X, попадет в промежуток ]а, Ь[, определяется равенством

ъ Р (а < X < Ъ) = J / (*) ах. а

График функции f (х) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток] а, Ь[ равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х = а, х = Ь (рис. 39).

Функция плотности вероятности / (х) обладает следующими свойствами:

1°. /(*)^0.

+ GO

2°. [ f(x)dx=l

если все значения случайной величины X заключены в промежутке ]а, Ь[, то последнее равенство можно записать в виде

ЙЙЙ

Рассмотрим теперь функцию F(x) = P(X<x). Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины X. Функция F (х) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если / (я)—функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины X, то

ЙЙЙ

Из последнего равенства следует, что

f(x)=F’(x).

Иногда функцию f (х) называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию F (х) — интегральной функцией распределения вероятности.

Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:

Г. F (х) — неубывающая функция.

2°. F(— oo)-О,

3°. F(+oo) = l.

Понятие функции распределения является центральным в теории вероятностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения F (х) непрерывна.


.