Решение задач по физике и математике.



Нормальный закон распределения. Функция Лапласа.

В записи разобраны характеристики нормального закона распреления. Также описаны функция Лапласа и интеграл ошибок.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью

ЙЙЙ

Нетрудно видеть, что функция / (х) удовлетворяет двум условиям, предъявляемым к плотности распределения: 1ЙЙЙ

— х

Кривая y = f(x) имеет вид, изображенный на рис. 45. Она симметрична относительно прямой х = т, максимальная ордината кривой (при х — т) равна \Й{пг~~2р) и ось абсцисс является асимптотой этой кривой. Так как

+ ос

\ xf (x)dx = m, то параметр т является математическим ожиданием случай-

~ 00

ной величины X. С другой стороны, ЙЙЙ откуда D(x)=o2t

т. е. or является средним квадратичным отклонением величины X. Введем обозначение

ЙЙЙ

Функция Ф (х) называется функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Эту функцию называют также функцией ошибок и обозначают erf*. Иногда используются и другие формы функции Лапласа, например, Ф (х) =

ЙЙЙ

2°. Ф (+ оо) = 1, поскольку Ф(+ оо) = 3°. Ц (ч) — нечетная функция. Справедлива также формула

С помощью этой формулы можно находить вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, в интервал, симметричный относительно точки яг.


.