Решение задач по физике и математике.



Системы случайных величин

В записи разобраы основные понятия системы случайных величин в теории вероятностей. Приведены формулы и описания таких характеристик, как закон распреления системы двух случайных величин, плотность распреления, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент корреляции, корреляционный момент.

Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X, а несколькими случайными величинами: Чч, Ч2, …, Хп. В этом случае принято говорить, что указанные случайные величины образуют систему (Xi, X2i …, Хп)•

Систему двух случайных величин (X, Y) можно изобразить случайной точкой на плоскости.

Событие, состоящее в попадании случайной точки (X; Y) в область D, принято обозначать в виде (Х\ Y) с D.

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин может быть задан с помощью таблицы

х^^- Y yt Уг … Уп

Xi Pit Pi2 … Pin

х2 Pzi P22 … P2tl

• • • • •

хт Pml Ртг … Pmn

где xi < x2 < … < X/n* У1 < Уг < • • • < Ут Pij—вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств Х — х^ Y = yj. При этом

>!53 2 PiJ~^• Таблица может содержать бесконечное множество строк и

столбцов.

Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X, Y) будем задавать с помощью функции плотности вероятности / (ху у).

Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D определяется равенством

Р[(Х; К) С £>]=$$/(*, y)dxdy.

D

Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами: 1°. f(x9y)^0.

+ оо + со

20. J J f(x, y)dxdy=l.

— со — 8

Если все случайные точки (X; Y) принадлежат конечной области D, то последнее условие принимает вид \ V f(x, y)dxdy~\.

D

Математические ожидания дискретных случайных величин X и Г, входящих в систему, определяются по формулам

т п т п

тх = М{Х) = 2 2 Wifi ту = м (у)= 2 2 У/PV’

i = 1 у = 1 i = 1 / = 1

а математические ожидания непрерывных случайных величин — по формулам

+ 00+00 +00+00

тх = М(х) = ^ ^ xf(x, y)dxdyt ту = М(Х) = ^ ^ yf (x, y)dxdy.

— 00 — СО — СО 00

Точка (тх\ mv) называется центром рассеивания системы случайных величин (X, Y).

Математические ожидания тх и ту можно найти и проще, если случайные величины X и Y независимы. В этом случае из законов распределения этих случайных величин можно определить математические ожидания тх и ту по формуле, приведенной в § 6 этой главы.

Дисперсии дискретных случайных величин X и Y определяются по формулам

т п т п

Я(*)=2 Stt/te-’”*)2. °(Х)=У ^РиЛУ/-ту)\

i = 1 / = 1 i = 1 / = 1

Дисперсии же непрерывных случайных величин X и К, входящих в систему, находятся по формулам

+ 00+00 +00+00

D(X)= J J (x-mx)*f(x, y)dxdy, D(Y)= J J (у-myYf(x, y)dxdy•.

— 00—00 —00—00

Средние квадратичные отклонения случайных величин X я Y определяются по формулам

ох=]ГЩх), *у=УЩп•

Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы

D (X) = М (X2) — [М (X)]2, D(Y) = M (F2) — [М (F)]2.

Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый корреляционный момент (ковариация)

Cxy = M[{X-mx){Y-my)).

Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле

Сху =2 2 {*п — тх) {Ут—tny) рпт>

т п

а для непрерывных — по формуле

+ 00+00

сху= \ \ {x—tnx){y—my)f{xy y)dxdy.

— GO — GO

Корреляционный момент можно также найти по формуле

Cxy = M(XY)-M(X)M(Y). Здесь

ЩХГ) == 2 2 ВД/яРяш

т п

Pages: 1 2


.