Решение задач по физике и математике.



Линии регрессии. Корреляция

В записи рассматривается построение линии регрессии и нахождение корреляции для систем случайных величин (Х. У).

Дана система случайных величин (X, У). Пусть в результате п испытаний получено п точек г; уг), (лг2; Я/2)» ···> (*п> Уп) (среди этих точек могут быть и совпавшие). Требуется вычислить коэффициент корреляции этой системы случайных величин.

Приняв во внимание закон больших чисел, при достаточно большом а в формулах для определения у|, оу и Сху можно заменить математические ожидания М (X) и М (У) средними арифметическими значений соответствующих случайных величин. При этом имеют место следующие приближенные равенства:

QQQ

Отсюда можно найти коэффициент корреляции по формуле

QQQ

Если | Гд.у [ У~п—1^3, то связь между случайными величинами X и Х достаточно вероятна. Если связь между X и У установлена, то линейное при­ближение ух от х дается формулой линейной регрессии

QQQ

Линейное же приближение ху от у дается формулой линейной регрессии

QQQ

Следует иметь в виду, что ух = ах-\-Ь и xy = cy + dразличные прямые (рис. 50). Первая прямая получается в результате решения задачи о миними­зации суммы квадратов отклонений по вертикали, а вторая — при решении за­дачи о минимизации суммы квадратов отклонений по горизонтали.

QQQ

Для построения уравнений линейной регрессии нужно:

1) по исходной таблице значений (X, У) вычислить л:, у, ох, <Jy, Сху, гху;

2) проверить гипотезу о существовании связи между X и Y;

3) составить уравнения обеих линий регрессии и изобразить графики этих уравнений.


.