Решение задач по физике и математике.



Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных

В записи рассматриваются такие понятия, как генеральная и выборочная совокупности, частота и относительная частота выборки, гистограмма частот, статистическая функция, среднее значение случайной величины, статистическая дисперсия и статистическое среднее квадратичное отклонение, моменты случайной величины по данной выборке.

1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо представляет количественные соотношения генеральной совокупности.

2. Частота и относительная частота. Пусть имеется выборка объема п. расположим результаты выборки в таблице

i 1 2 3 … n

ь h и L• § • • In

где ЙЙЙ — значения случайной величины X соответственно в 1, 2, 3, …, -м испытаниях. Среди приведенных значений случайной величины X могут быть и равные. Объединив равные значения случайной величины, получим таблицу

X Xi *2 Хз • • » Ч

пх щ п2 Пв Ч

где щ — число появлений значения Xi(iЙЙЙ Величины ЙЙЙ…, щ называются частотами соответствующих значений ЙЙЙ случайной величины X. Очевидно, что ЙЙЙ сумма частот всех значений случайной величины равна объему выборки.

Отношение частоты щ к объему выборки п называется относительной частотой значения x-t и обозначается через доЙЙЙ. Очевидно, что

1 ЙЙЙ 1

т. е. для случайной величины X сумма относительных частот всех ее значений равна единице.

Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами, называется статистическим распределением случайной величины X:

X Xi х2 Хз … xi

W Wf w2 Доз … Wi

Следует заметить, что довольно часто статистическим распределением называют также таблицу, определяющую соответствие между значениями случайной величины и их частотами.

Если X — непрерывная случайная величина, то ее статистическое распределение целесообразно представить в виде

/ ЙЙЙ … ЙЙЙ

Ш ЙЙЙ … ЙЙЙi

Здесь wi — относительная частота попадания случайней величины в интервал

Если случайная величина примет л значений, равных ЙЙЙ, то в случае четного значения л половину этих значений можно отнести к интервалу ]|,•_ЙЙЙ а вторую половину— к интервалу ЙЙЙ. При нечетном л к

одному из этих двух интервалов можно отнести ЙЙЙ значений, а к другому ЙЙЙ значений. При большом объеме п выборки не имеет существенного значения, к какому из интервалов отнесено большее число значений. Для наглядности статистическое распределение дискретной случайной величины иллюстрируется полигоном распределения. Для этого последовательные точки ЙЙЙ изображают на координатной плоскости и соединяют их прямолинейными отрезками. Необходимо отметить, что точки, не являющиеся вершинами полигона, не представляют интереса с точки зрения математической статистики.

Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются диаграммами, которые называются гистограммами.

1. Гистограмма, устанавливающая зависимость частот от разрядов интервалов, в которые попадают значения случайной величины. Пусть непрерывная случайная величина X определена таблицей:

Предполагая, что разности ЙЙЙ постоянны, положим ЙЙЙ — шаг таблицы). На оси Ох отметим точки ЙЙЙ. Рассмотрим функцию, определенную равенствами у = ЙЙЙ, если ЙЙЙ.

Pages: 1 2 3


.