Решение задач по физике и математике.



Что такое производная

Здесь Вы найдете ответы на вопросы, что такое производная, определение производной, геометрический и физический смысл производной, правила дифференцирования и вычисления производной, чему равна производная сложной функции и ее применения.

Определение производной

Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Это формальное определение, которое нужно только для понимания общей идеи производной. Эта идея показывает связь и смысл производной с той функцией, которую мы хотим исследовать. В частности, она показывает, геометрический и физический смысл производной, способы нахождения производной на основе графика функции, поведение функции (возрастание и убывание, экстремумы функции) и некоторые другие аспекты.

Главное, что нужно понимать из определения производной это:

  • производная – это отношение приращения функции к приращению аргумента (всегда делим Δf на Δx);
  • производная показывает изменение чего-то при изменении чего-то другого (того параметра, от которого зависит функция).

Производная функции. Смысл производной

Пусть нам дана некоторая функция f(x), которая зависит от одной переменной х. Если нам дана формула, по которой мы может найти значение функции f(x) для каждого значения х, то мы можем построить график функции. На графике можно видеть промежутки возрастания убывания функции, экстремумы функции, ее нули. Для того, чтобы понять смысл производной, выберем некоторую точку х и найдем соответсвующее ей значение функции f(x). Если в данной точке провести касательную, то угловой коэффициент касательной (или иначе тангенс угла наклона) будет равен отношению приращения функции к приращению аргумента (это очевидно следует из определения линейной функции: уравнение прямой имеет вид y=k·x, где k – угловой коэффициент, отсюда, k=y/x – отношение значения функции к значению аргумента в данной точке х).

Отсюда легко увидеть, в чем заключается геометрический смысл производной функции:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ: ПРОИЗВОДНАЯ РАВНА ТАНГЕНСУ УГЛА НАКЛОНА КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ, ПРОВЕДЕННОЙ В ДАННОЙ ТОЧКЕ х!!!!

С геометрическим смыслом производной все более ли менее понятно: производная=угловой коэффициент=тангенс угла наклона касательной. Так что если в условии задачи написано что-то вроде найти угловой коэффициент к графику функции, или определить тангенс угла наклона, то значит требуется тупо посчитать производную функции в данном точке.

Физический смысл тоже простой. Для этого предположим, что у нас есть зависимость изменения пройденного расстояния от времени. Например, мы сели в поезд в Москве и едем в Питер. Мы знаем, сколько времени прошло с отправления поезда, мы знаем сколько километров прошел поезд. Тогда если мы поделим пройденные километры (приращение функции) на пройденное время (приращение аргумента) с момента отъезда, то мы получим скорость, с которой наш поезд едет в Петербург. Это с одной стороны. А если поделить слова, выделенные жирным шрифтом, то мы получим вот что:

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ                                     .
——————————– = ПРОИЗВОДНАЯ

ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА                                      .

Pages: 1 2


105 Комментариев на странице “Что такое производная”

  1. kolebatel написал:

    Если бы набрали пример в помощью формул, как это описано на сайте, то ответ бы тоже написал красиво, а так получайте в таком же виде:

    y’=(8^*3*х^2*(4x-1)-4*(8x)^3)/(4x-1)^2

  2. Анна написал:

    ((8х) в 3 степени )делить на (4х – 1)

  3. admin написал:

    Находите вторую производную y'', затем приравниваете ее к нулю y''=0 и находите корни этого уравнения. Затем как в методе интервалов, смотрите, Какие знаки принимает вторая производная на каждом из участков оси. Если производная отрицательная, то функция вогнутая, если положительная – выпуклая. Вот и все.

  4. Егор написал:

    Помогите, пожалуйста! Объясните,как найти промежутки выпуклости вверх для функции (х+1)^4?

  5. марина написал:

    пожалуйста помогите очень прошу.
    найти производную функции!
    y=arctg x/x
    вычислить пределы функций!
    lim= sin(-12X)/X
    x стремится к бесконечности.

  6. татьяна написал:

    помогите найти производную ln в кубе x+1

  7. татьяна написал:

    пожалуйста помогите решить y=ln((x^2-1)/(x^2+1))

  8. галина написал:

    помогите пожалуйста. не могу понять как это делать
    f(x)=/sgrt{x}sgrt{x}+sgrt{x}

  9. admin написал:

    а какая у вас получилась 3ья производная?

  10. калима написал:

    Посчитать 4 производную 0,37е^sinx

  11. kolebatel написал:

    \\y(x)=0,37e^{sinx}\\\\y'=0.37cosxe^{sinx}\;\;\;y''=0.37(-sinxe^{sinx}+cos^2xe^{sinx})=\\\\=0.37e^{sinx}(-sinx+cos^2x)
    остальные берутся аналогично!

  12. калима написал:

    помогите посчитать производную 1,2,3,4 порядка: 0,37е^sinx