Решение задач по физике и математике.



Виды дифференциальных уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Различают различные виды дифференциальных уравнений.

Все дифференциальные уравнения можно поделить на группы по тем или иным признакам:

По линейности уравнения дифференциальные уравнения можно поделить на линейные дифференциальные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Первые являются линейными относительно производных, входящих в уравнение, во вторых производные могут быть возведены в ту или иную степень.

По порядку старшей производной уравнения делятся на дифференциальные уравнения первого порядка и на дифференциальные уравнения высших порядков ( ДУ второго порядка, ДУ третьего порядка и т.д.). Дифференциальное уравнение первого порядка содержит только первую производную функции. Дифференциальное уравнение второго порядка – вторую производную функции (также может содержать и первую производную фукнцию тоже).

Также дифференциальные уравнения принято делить на однородные и неоднородные дифференциальные уравнения (если уравнение равно нулю, то это однородное дифференциальное уравнение, если равно некоторой функции (или константе), то неоднородное ДУ.

Классификация дифференциальных уравнений первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка делятся на следующие подтипы уравнений:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;

Однородные дифференциальные уравнения;

Однородные уравнения, приводящиеся к однородным;

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах;

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. (в частности, уравнение Бернулли относится к линейным ДУ первого порядка);

Дифференциальные уравнения, заданные параметрически;

Уравнения Лагранжа и Клеро.

Классификация дифференциальных уравнений высших порядков

Неоднородные дифференциальные уравнение, разрешенные относительно старшей производной;

Однородные дифференциальные уравнение высших порядков, не содержащие искомой функции;

Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной;

Дифференциальные уравнение, однородные относительно функции и ее производных.

Классификация линейных однородных уравнение высших порядков

Линейные однородные уравнения;

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами;

Линейные неоднородные уравнения;

Уравнение Эйлера.

Все эти типы и подтипы уравнений имеют свои особенности и решения. Решения дифференциальных уравнений зависят от того, к какому типу данное ДУ относится. Применяя соотвествующие методики решения дифференциальных уравнений, решение примера можно уместить в одну страницу или в несколько строчек, избежать излишних вычислений и получить правильное общее и частное решение дифференциальных уравнений.


.