Решение задач по физике и математике.



Нахождение производной функции нескольких переменных

Пусть дана функция нескольких переменных F(x,y,z). Требуется найти ее частные производные F_x, \; F_y \; F_z. О том, как это сделать, Вы сможете прочитать здесь.

Нахождение производной функции нескольких переменных

Пусть дана функция нескольких переменных F(x,y,z)=2^{\frac{x}{z}}+2^{\frac{y}{z}}-8.
Требуется найти ее частные производные F_x, \; F_y \; F_z.

Чтобы решить такую задачи, нужно продифференцировать функцию F по одной из переменной (например, по переменной х), а остальные считать константами. Тогда для производных F_x; \; F_z получаем следующие выражения:
F_x=\frac{1}{z}2^{\frac{x}{z}}ln2\\\\F_z=-\frac{x}{z^2}2^{\frac{x}{z}}ln2-\frac{y}{z^2}2^{\frac{y}{z}}ln2

Производная F_y не разбирается, потому что она аналогична частной производной по переменной х.
Что было сделано, чтобы получить такой результат?
У нас есть показательная функция 2^{K}. Ее производная по К равна 2^{K}ln2. Но в нашем случае переменная К представляет собою функцию от (x,z). Значит, мы должны добавить еще и производную K_x. В нашем случае K=\frac{x}{z}, значит ее производная по переменной х будет равна K_x=\frac{1}{z}, а по переменной z – K=-\frac{x}{z^2}.

Вот и все, что надо помнить, при нахождении частных производных функций нескольких переменных:

  • уметь брать простые частные производные;
  • при нахождении производной по одной из переменной, остальные считать константами;
  • помнить о производной сложной функции.

.