Решение задач по физике и математике.



Комплексные числа – основные понятия и формулы

Комплесные числа представляют собой некоторое математическое множество, в котором действуют свои законы сложения, вычитания, произведения и частного. Чтобы разбираться в операциях с комплексными числами, Вам будет полезно ознакомиться с основными формулами и понятиями этого курса.

Комплексные числа

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом.

Два комплексных числа z_1=(x_1,y_1),\;\;z_2=(x_2,y_2) равны, если выполняются следующие равенства x_1=x_2,\;\;y_1=y_2.

Сумма комплексных чисел равна z=(x_1+x_2,y_1+y_2)

Разность комплексных чисел равна z=(x_1-x_2,y_1-y_2)

Произведение комплесных чисел равно z=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)

Частное комплексных чисел (деление комплексных чисел) называется число

z=( \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2})

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1).  Произвольное комплексное число можно записать в виде z=x+iy. Это алгебраическая форма комплексного числа. Число z=x-iy называется сопряженным по отношению к комплексному числу z=x+iy.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно представить и в другом виде.

z=(x,y)=(rcos \theta, rsin \theta)=r(cos \theta + isin \theta)

Это тригонометрическая форма комплексного числа. В данной формуле

r=\sqrt{x^2+y^2}, \;\; tg \theta=\frac{y}{x}

В тригонометрической форме произведение и частное двух комплексных чисел z_1=(r_1cos\theta _1, r_1sin\theta _1),\;\;z_2=(r_2cos\theta _2,r_2sin\theta _2) будет выглядеть следующим образом:

z_1z_2=(r_1r_2cos(\theta _1+\theta _2),r_1r_2sin(\theta _1+\theta _2))

\frac{z_1}{z_2}=(\frac{r_1}{r_2}cos(\theta _1-\theta _2),\frac{r_1}{r_2}sin(\theta _1-\theta _2))

Формула Муавра

Соотношение z^n=(r^ncos n\theta ,r^nsin n\theta ),\;\;r=1 называется формулой Муавра. Корень n-ной степени из комплексного числа z имеет n различных решений, которые можно легко найти используя формулу Муавра:

\sqrt[n]{z}=(\sqrt[n]{r}cos \frac{\theta +2k \pi}{n},\sqrt[n]{r}sin \frac{\theta +2k \pi}{n}),\;\;k=0,1,\cdots,n-1


.