Решение задач по физике и математике.



Степенная функция, ее график и свойства

Бесплатные решения задачВ статье описано, что такое степенная функция, как выглядит график степенной функции, основные свойства, примеры решения задач с использованием графика степенной функции; зависимость графика функции от значения степени.

Если этот материал так и не помог вам разобраться со степенной функцией, посетите страницу с нашими видеоуроками. В них объясняется теория и разобрираются простые наглядные примеры.

Степенная функция

Функция вида у(х)=хn, где n – число, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

Степенная функция у=х² имеет график функции, изображенный на рисунке. Из рисунка видно, что графиком функции у=х² является парабола. Степенная функция у=х² обладает следующими свойствами: (картинка)

  1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
  2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;
  3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
  4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).
  5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).
  6. В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз. возможные варианты будут представлены ниже в разделе Графики степенных функций для сравнения с другими возможными случаями степенных функции.

Степенная функция у=х³

Степенная функция у=х³ имеет график функции, изображенный на рисунке. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами: (картинка)

  1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
  2. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;
  3. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
  4. Функция возрастает на всей области определения.
  5. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
  6. В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. возможные варианты будут представлены ниже в разделе Графики степенных функций для сравнения с другими возможными случаями степенных функции.

Степенная функция с целым отрицательным показателем

Степенная функция с целым отрицательным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

  1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
  2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;
  3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
  4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
  5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

  1. D(x)=R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;
  2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;
  3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.
  4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

Графики степенной функции

Поместить графики функций

Примеры и задачи на степенную функцию

Примеры на степенную функцию представляют собой уравнения второй степени (квадратные уравнения), уравнения третьей степени( кубические уравнения), иррациональные уравнения, дробные уравнения (в которых необходимо добавить условие на неравенство нулю знаменателя). Одноименные неравенства также можно свести к графическому способу решения.

Варианты разобранных задач на эту тему вы сможете найти здесь. Если здесь нет ссылки, то задачи еще не вывешены. Если интересующие вас задачи не разобраны на нашем сайте, оставьте комментарий с текстом своей задачи, и мы решим и выложим ее как можно быстрее.


Только один комментарий на странице “Степенная функция, ее график и свойства”

  1. вадим написал:

    vla