Решение задач по физике и математике.



Квадратное уравнение

Бесплатные решения задачВ статье вы найдете описание того, что такое квадратное уравнение, как решать квадратное уравнение, формула вычисления дискриминанта, нахождение корней через дискриминант, нахождение корней квадратного уравнения по теореме Виета, примеры решений квадратного уравнения.

Свежий материал на эту тему
Это старая статья. На эту тему появился более новый материал, который может быть вам полезен Далее

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax²+bx+c=0, где a,b, и c – любые числа. То есть если у нас есть уравнение, в котором есть переменная во второй степени (x²), то данное уравнение является квадратным. Необязательно, чтобы в него входили другие (низшие) степени переменной; так, например, x²=4 – тоже квадратное уравнение, потому что в уравнении есть переменная величина во второй степени. Решить уравнение – значит найти его корни (корнем уравнения называется такое число, при котором уравнение превращается в тождество). Если у нас есть квадратное уравнение, то и корней у него будет ДВА!!! (какая максимальная степень переменной, столько и корней!). Иногда корень может быть один, но 2ой степени кратности (об этом будет написано ниже).

Решение квадратного уравнения

Как же решать квадратное уравнение? Мы знаем, что ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение. Для того, чтобы найти корни этого уравнения, нам надо будет сделать следующие действия:

  1. вычислить дискриминант;
  2. по значению дискриминанта определить число корней уравнения;
  3. найти корни данного уравнения.

Вычисление дискриминанта

Дискриминант – это выражение, численно равное b²-4ac, то есть

D=b²-4ac

Это формула дискриминанта в общем виде. Если в решаемом примере коэффициент при первой степени х четный, то можно упростить вычисление дискриминанта и корней уравнения (такой пример будет рассмотрен ниже). После вычисления дискриминанта мы получим какое-то. В зависимости от величины этого числа мы можем определить, сколько корней будет иметь наше квадратное уравнение.

Дискриминант

Полученный дискриминант может быть следущим: D>0, D=0, D<0. Три этих случая дают три варианта наличия корней квадратного уравнения. Если D>0, то квадратное уравнение будет иметь 2 различных корня; если D=0, то квадратное уравнение имеет 1 корень (корень кратности 2); если D<0, то такое уравнение вообще не будет иметь корней.

Нахождение корней квадратного уравнения

Для начала, найдем корни квадратного уравнения, если дискриминант больше нуля (D>0). В этом случае, корни уравнения будут вычисляться по формуле

квадратное уравнение, дискриминант

В случае, если дискриминант равен нулю (D=0), один единственный корень уравнения может быть найден по формуле х=-b/2a. Это вполне логично (так как D=0 в предыдущей формуле).

Теорема Виета

Иногда, когда коэффициенты при х (b) и свободном члене (c) небольшие, а коэффициент при второй степени х равен 1, то можно попробовать найти корни квадратного уравнения путем подбора. Для этого используется теорема Виета, которая гласит, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену. То есть

х1+х2=-b

х1·х2=с

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим теперь как решать квадратные уравнения, находить дискриминант и использовать теорему Виета на примерах.

Пример 1.

Решить квадратное уравнение 9х²-6х+1=0

Здесь a=9, b=-6, c=1

Найдем дискриминант D=b²-4ac=36-4·9=0. Так как D=0, то данное уравнение имеет один корень. Корень уравнения равен х=-(-6)/18=1/3.

Ответ: 1/3.

Пример 2.

Решить квадратное уравнение х²+х-2=0

Дискриминант равен D=b²-4ac=1-4·1·(-2)=1+8=9

Так как D>0, то уравнение имеет два корня. х1=(-1+3)/2=1 и х2=(-1-3)/2=-2

Ответ: 1, -2.

Пример 3.

Решить квадратное уравнение х²+х-2=0 с помощью теоремы Виета

Согласно теореме Виета можем записать следующие соотношения

х1+х2=-1

х1·х2=-2

Из этих уравнений можно предположить, что х1=-2, а х2=1. Напомним, что теорема Виета применяется в основном в тех случаях, когда корни можно определить методом подбора! Более сложные корни определить с помощью теоремы Виеты может быть трудно, тогда это просто займет у вас больше времени на решение примера, чем вычисление дискриминанта.

Желаем Вам успеха в решении задач по математике и ждем ваших комментариев по непонятным задачам!


44 Комментариев на странице “Квадратное уравнение”

  1. оксана написал:

    1. Найти корни z=u и z=v квадратного уравнения z^2+8z+41=0 и вычислитьu/v,v^2+(1+i)u. Помоги те пожалуйста мне срочно нужно его решить но я не могу понять как.ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

  2. Математик написал:

    -5t+1=0
    -5t=1
    t=1/-5
    t=-0/2

  3. Ksusha написал:

    Помогите решить!

    Найдите, не вычисляя значения дискриминанта, при каком значении а уравнение х квадрат+28х+а=0 имеет единственный корень. Найдите этот корень.

  4. Ksusha написал:

    Как это решить?
    Найдите, не вычисляя значения дискриминанта, при каком значении а уравнение х квадрат + 28х + а = 0 имеет единственный корень. Найдите этот корень.

    Помогите решить, пожалуйста!!

  5. [...] pablito пишет: Решение квадратного уравнения. Как же решать квадратное уравнение? Мы знаем, что ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение. Для того, чтобы найти корни этого уравнения, нам надо будет сделать следующие действия: … [...]

  6. жека написал:

    -t^2-3t+1=0, \;\;a=1;b=-3;c=1; \;\;D=6-4(-1)1=6+1=7 \;\;x_1=3+7/2=5; \;\;x_2=7-3/2=2

  7. admin написал:

    Так как описано выше. Шаг в шаг просто.

  8. Светлана написал:

    Здравствуйте…
    Подскажите пожалуйста,как решить такое уравнение..
    -(x^2)+3x-6=0

  9. Сиди и РЕШАЙ!!! написал:

    Примеры
    Дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен b2 − 4ac;x1 и x2 * при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
    (1)
    при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

    при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

    Дискриминант многочлена a3x3 + a2x2 + a1x + a0 равен

    В частности, дискриминант многочлена x3 + px + q (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен − 27q2 − 4p3.

  10. aleshka написал:

     15=2(a+b)\\\\5=\sqrt{a^2+b^2}\\\\S=ab

    надо решить эту систему. a,b – стороны прямоугольника.

  11. Sergio написал:

    найти площадь прямоугольника, если периметр 14 см, а диагональ 5 см.

  12. Дебора написал:

    Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 20 см, а площадь 24кв.см., сотавить квадратное уравнение. Напишите решение.