Решение задач по физике и математике.


Интегральное исчисление



1. Вариационное исчисление.
Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума. Вариационная задача с закрепленными границами. Уравнение Эйлера. Задачи на условный экстремум. Задача с подвижной границей. Достаточные условия экстремума. Понятие о прямых методах вариационного исчисления.

 

2. Интегральные уравнения.
1) Классификация линейных уравнений.
Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.
2) Линейные операторы в бесконечном евклидовом пространстве.
Вполне непрерывный оператор. Теорема о существовании собственного значения и собственного вектора.

 

3. Однородное уравнение Фредгольма второго порядка.
Существование собственных значений и собственных функций. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.

 

4. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма-Лиувилля).
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

 

5. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода.
Принцип сжатых отображений. Уравнение Фредгольма с “малым ?”. Теоремы Фредгольма.

 

6. Уравнение Вольтера.
Метод последовательных приближений.

 

7. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.
Уравнение Фредгольма 1-го рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н.Тихонова регуляции решения уравнения Фредгольма 1-го рода.