Решение задач по физике и математике.


Линейная алгебра


 

Линейные пространства. Определение линейного пространства и его свойства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Связь базиса с размерностью линейного пространства. Преобразование базиса и координат. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства и линейные оболочки. Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Теоремы о ранге произведения двух матриц.

 

Системы линейных уравнений. Критерий совместимости системы линейных уравнений. Однородная система уравнений и фундаментальная совокупность решений. Неоднородная система линейных уравнений.

 

Линейные операторы. Линейный оператор и его матрица. Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в Rn и квадратными матрицами. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса. Линейное пространство линейных операторов. Произведение операторов.

 

Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования.

 

Евклидово и унитарное пространства. Понятие евклидова и унитарного пространства. Длина и угол в евклидовой пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса. Свойства ортогональных и унитарных матриц. Разложение евклидова пространства на прямую сумму взаимно ортогональных подпространств.

 

Сопряженный и симметричный (самосопряженный) операторы и их свойства. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов симметричного оператора. Ортогональный оператор и его свойства. Сопряженный, эрмитов и унитарный операторы в унитарном пространстве.

 

Билинейные и квадратичные формы. Ранг квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при преобразовании переменных. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Приведение к каноническому виду общего уравнения второго порядка.

 

Знакоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Билинейная форма. Приведение симметричной билинейной формы к каноническому виду. Способы введения скалярного произведения в конечномерных пространствах. Способы введения скалярного произведения в конечномерных линейных пространствах.

 

Элементы теории групп. Понятие группы. Понятие числового поля. Примеры круп и числовых полей. Пространство Минковского. Группа преобразований Лоренца.

 

Элементы теории тензоров. Понятие тензора. Примеры. Операции над тензорами.