Решение задач по физике и математике.


Уравнения математической физики


 

Основные понятия и принципы моделирования. Прямые и обратные задачи. Иерархия моделей. Универсальность моделей.

 

Некоторые классические задачи математической физики.
Задача с данными на характеристиках (Задача Гурса). Общая задача Коши для гиперболического уравнения. Функция Римана, ее физический смысл. Решения уравнения с постоянными коэффициентами.

 

Уравнение переноса в двухфазной среде, динамика сорбции газов. Решение для линейного случая. Автомодельное решение в нелинейном случае.

 

Задача о фазовом переходе (Задача Стефана). Метод подобия.

 

Постановка задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Условия излучения. Принцип предельного поглощения. Парциальные условия излучения.
Математическое моделирование нелинейных процессов.
Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка. Метод характеристик. Обобщенное решение. Образование разрывных решений. Условия на разрывах (условие Гюгонио).

 

Нелинейные уравнения параболического типа. Динамика уровня грунтовых вод (уравнение Буссинеска). Задачи нелинейной теплопроводности и горения. Автомодельные решения. Конечная скорость распространения волн. Режимы с обострением.

 

Модель “хищник-жертва”. Исследование ее решения.
Солитонные решения. Уравнения Кортевега де Фриза, законы сохранения. Схема метода обратной задачи рассеяния.

 

Методы исследования математических моделей.
Метод конечных разностей. Основные понятия, точность аппроксимации, устойчивость, сходимость.

 

Разностная схема для уравнения теплопроводности на отрезке. Явная и неявная схема. Исследование их устойчивости. Метод прогонки.

 

Экономические разностные схемы. Схема переменных направлений. Ее устойчивость.

 

Консервативные разностные схемы. Пример неконсервативной схемы. Интегро-интерполяционный метод и метод конечных элементов построения консервативной схемы.

 

Схемы бегущего счета для решения переноса. Их устойчивость. Условие Куранта. Монотонные схемы.

 

Вариационные методы. Сведение краевой задачи в частных производных к вариационной. Метод Ритца. Метод Галеркина. Задачи на собственное значение.

 

Асимптотические методы. Случай регулярных возмущений. Алгоритм построения асимптотики.

 

Случай сингулярных возмущений. Условие устойчивости корней вырожденной задачи. Алгоритм построения асимптотики.

 

Метод осреднения Крылова-Боголюбова. Алгоритм построения асимптотики. Метод ВКБ.

 

Некоторые новые объекты математического моделирования. Вейвлеты. Фракталы. Синергетика. Теория перколяции.