У нас Вы найдете:


Задай свой вопрос

Бесплатный ответ на любой вопрос. Если Вам что-то непонятно, а помочь некому, просто напишите нам свой вопрос, и получите ответ. Обязательно ответим. подробнее

Rambler's Top100

Математический анализ

1. Определения.

1.1. Определение бесконечно малой последовательности.
1.2. Определение сходящейся последовательности.
1.3. Определение монотонной последовательности.
1.4. Определение предельной точки последовательности.
1.5. Определение подпоследовательности.
1.6. Определение верхнего и нижнего пределов последовательности.
1.7. Определение фундаментальной последовательности.
1.8. Определение предела функции.
1.9. Определение монотонной функции.
1.10. Определение непрерывности функции.
1.11. Определение сложной функции.
1.12. Определение предела функции по Коши и по Гейне.


2. Теоремы.


2.1. Теорема о пределе суммы двух бесконечно малых последовательностей.
2.2. Теорема о пределе разности двух бесконечно малых последовательностей.
2.3. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
2.4. Теорема о пределе суммы сходящихся последовательностей.
2.5. Теорема о пределе разности сходящихся последовательностей.
2.6. Теорема о пределе произведения сходящихся последовательностей.
2.7. Теорема о пределе частного сходящихся последовательностей.
2.8. Теорема о предельном переходе в неравенствах.
2.9. Теорема о пределе монотонной последовательности.
2.10. Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности.
2.11. Теорема о существовании предельной точки у ограниченной последовательности.
2.12. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
2.13. Теорема о связи существования предела последовательности с равенством верхнего и нижнего пределов этой последовательности.
2.14. Критерий Коши для последовательностей.
2.15. Теорема о пределе суммы двух функций.
2.16. Теорема о пределе разности двух функций.
2.17. Теорема о пределе произведения двух функций.
2.18. Теорема о пределе отношения двух функций.
2.19. Теорема о непрерывности суммы двух функций.
2.20. Теорема о непрерывности разности двух функций.
2.21. Теорема о непрерывности произведения двух функций.
2.22. Теорема о непрерывности отношения двух функций.
2.23. Формулировка теоремы об обратной функции. Примеры.
2.24. Первый замечательный предел.
2.25. Теорема о непрерывности сложной функции.
2.26. Теорема о существовании предела по Гейне как следствие существования предела по Коши.
2.27. Критерий Коши существования предела функции.

Последовательность точек в n-мерном пространстве. Критерий Коши. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. Предел функции нескольких пееременных. Непрерывность функции нескольких переменных по отдельной переменной и непрерывность по совокупности переменных. свойства непрерывных функций.

Частные производные. Производные старших порядков. достаточные условия независимости от порядка дифференцирования. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Векторно-матричная форма записи дифференциала.

Сложные функции нескольких переменных. Дифференцируемость сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Производная по направлению и градиент. Векторно-матричная форма записи дифференциала сложной функции.


Дифференциалы высших порядков. Символические формулы для дифференциалов.


Формула Тейлора. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.


Понятие неявной функции. Теоремы о неявной функции, определяемой одним уравнением. Дифференцирование неявной функции. Функциональный определитель (Якобиан). Понятие зависимости функции и независимости функций. Теорема о зависимости и независимости функций. Замена переменных в дифференциальных выражениях.


Условный экстремум. Сведение задачи об условном экстремуме к задаче о безусловном экстремуме. Метод Лагранжа. Необходимые условия условного экстремума в форме Лагранжа. Достаточные условия условного экстремума в форме Лагранжа.


Понятие определенного интеграла. Интегральные суммы. Предел интегральных сумм. Верхние и нижние суммы и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора для функции нескольких переменных. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения. Существование первообразной непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной. Интегрирование по частям.


Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Длина кривой, плоской фигуры, коотдинаты центра масс. Методы приближенного вычисления определенного интеграла, формулы прямоугольников, трапеций, парабол. Оценка погрешности.


Кратные интегралы. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Криволинейные координаты на плоскости. Тройной интеграл. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Криволинейные координаты в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты.


Геометрические и физические приложения кратных интегралов.


Криволинейные интегралы первого рода. Криволинейные интегралы второго рода.


Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Физические приложения криволинейных интегралов первого и второго рода.


Исследование плоских кривых. Понятие плоской кривой. Касание плоских кривых. Соприкасающаяся окружность. Огибающая однопараметрического семейства кривых. Необходимое условие огибающей. Кривизна плоской кривой.