Решение задач по физике и математике.


Математический анализ

19. Найти общий член ряда

 \frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+

Решение:

 \\\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+...=\frac{1}{2}+\frac{1+2(2-1)}{2^2}+\\\\+\frac{1+2(3-1)}{2^3}+...\to  a_n=\frac{2n-1}{2^n }

20. Найти сумму ряда

 \frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+

Решение:

\\u_n=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} \right )\\\\ \begin{matrix} u_1=\frac{1}{2}\left (1- \frac{1}{3} \right ) & u_2=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{3}- \frac{1}{5} \right ) \\ u_3=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{5}- \frac{1}{7} \right ) & u_4=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{7}- \frac{1}{9} \right )... \end{matrix}\\\\ S_n=\frac{1}{2}\left (1- \frac{1}{3} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{1}{3}- \frac{1}{5} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{1}{5}- \frac{1}{7} \right )+=\\\\=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{7}- \frac{1}{9} \right )+...=\frac{1}{2}\left (1- \frac{1}{2n+1} \right )\\\\\lim_{n\to \infty}S_n=\frac{1}{2}
21. Исследовать сходимость ряда

\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{2}{3}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}+

Решение: Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому он сходится. Найдем его сумму. Здесь a=2/3 , q=1/2 ( знаменатель прогрессии). Следовательно, S_n=\frac{a}{1-q}=\frac{2/3}{1-1/2}=\frac{4}{3}

22. Исследовать сходимость ряда с общим членом  u_n=\frac{1}{4\cdot2^n-3} с помощью признаков сравнения рядов

Решение: Сравним этот ряд с рядом, у которого общий член v_n=1/2^n ( т.е. с бесконечно убывающей геометрической прогрессией). Применим второй признак сравнения рядов:

\lim_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=\lim_{n\to \infty }\frac{2^n}{4\cdot2^n-3}=\lim_{n\to \infty }\frac{1}{4-3/2^n}=\frac{1}{4}. Так как предел конечен и отличен от нуля, и ряд с общим членом v_n сходится, то сходится и данный ряд. Ответ: ряд с общим членом u_n сходится.

23. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Коши  \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n^2}

Решение: Применим признак Коши сходимости числовых рядов:

 u_n=\frac{1}{2^n}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n^2}&\sqrt[n]{u_n}=\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}\\\\C=\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=\frac{1}{2}e>1

Так как С>1, то ряд расходится.

24. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера  \frac{2}{1}+\frac{2^2}{2^{10}}+\frac{2^3}{3^{10}}+...+\frac{2^n}{n^{10}}+...

Решение:

 \\u_n=\frac{2^n}{n^{10}}& u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{\left (  n+1\right )^{10}}&\frac{u_{n+1}}{u_n}= \frac{2n^{10}}{\left (  n+1\right )^{10}}  D=\lim_{n\to \infty }\frac{2n^{10}}{\left (  n+1\right )^{10}}=\lim_{n\to \infty }\frac{2}{\left (1+\frac{1}{n}\right )^{10}}=2

Так как D>1, то ряд расходится.

Pages: 1 2 3 4 5 6 7


85 Комментариев на странице “Математический анализ”

  1. Катя написал:

    Помогите решить задачу пожалуйста!
    1)Найти ускорение движения при t=8, если S(t)=5-3t+2t^2+1/12*t^3;
    2)Вычеслить путь,пройденный телом за вторую секунду, если V=(4+3t^2)м/с

  2. Яночка написал:

    y’=2y=4,y(0)=1.Необходимо решить задачу Коши.Только нужно все решение…

  3. лидия написал:

    помогите, пожалуйста, решить пример: lim (ln(4+x)-ln4)/x при x к 0

  4. Ирина написал:

    (2x+1/x-1)^x

  5. Сания написал:

    1)А1(5;3;1),А2(0;2;0),А3(7;7;7),А4(2;3;7)
    Найти:
    а)cos угла A3A2A1
    б)расстояние от А4 до плоскости А1А2А3
    в)уравнение медианы A2K в треугольнике A1A2A3

    2)гипербола имеет действительную полуось а:=4 и мнимую в:=3.
    а)вычислить эксцентриситет
    б)написать уравнение фигуры, её директрис и асимптот, нарисовать фигуру с директрисами, асимптотами и фокусами.
    в) пересекает ли её прямая, отсекающая на оси OX отрезок p=a-2, а на оси OY отрезок q=b-2?
    ______

    1)Чему равна длина вектора a-2b, если вектор a(1,3,-4) и вектор в(3,-1,1)?
    2)Найти уравнение медианы AD в треугольнике ABC с вершинами A(2;5),B(10;3)и C(3;5)
    3)Для гиперболы x^2/9-y^2/16=1 определить эксцентриситет и нарисовать её вместе с фокусами и асимптотами.
    4)Параллельны, перпендикулярны или совпадают плоскости, заданные уравнениями: 2x+5y-z-1=0 и 10x+25y-5z-5=0?
    ___
    помогите, пожалуйста, очень надо.

  6. наташа написал:

    помогите построить кривую
    x=2sin2t
    x=3sint

  7. Алексей написал:

    помогите построить график Y=-x3+6×2-9x

  8. Pasha написал:

    Подскажите, как решить такой интеграл

    S(x^2-1)/(x^2+2x-8)dx ???

    Заранее спасибо.

  9. Катя написал:

    Здравствуйте!Помогите пожалуйста решить задачу:
    Найти угол, образованный прямой x+7y-2=0 и прямой, проходящей через точки A(4;6) и B(-8;-3).

    Заранее спасибо)

  10. Катя написал:

    Здравствуйте! Помогите решить задачу.

    Найти угол,образованный прямой x+7y-2=0 и прямой,проходящей через точки A(4;6) и B(-8;-3).
    Заранее спасибо)

  11. admin написал:

    \int_{1}^{e}\frac{(lnx)^2}{x}dx=\int_{1}^{e}(lnx)^2d(lnx)=\frac{(lnx)^3}{3} =\frac{1}{3}

  12. Ирина написал:

    y=\frac{x^2-11x+24}{x}