В статье описаны решения некоторых задач по аналитической геометрии с помощью радиус-векторов. Нахождение медиан, сторон, высот в треугольниках и тетраэдрах с использованием векторной алгебры.

Задача 1. В треугольнике АВС: AF – медиана, а E –  центр тяжести ( точка пересечения медиан). Выразить векторы AF и AE через AB и AC.

Решение:

Задача 2. Дан треугольник АВС. Найти точку О такую, что ОА+ОВ+ОС=0.

Решение:

Задача 3.  На векторах ОА, ОВ и ОС построен параллелепипед. Доказать, что диагональ ОD этого параллелепипеда проходит через центр тяжести Е треугольника АВС.

Решение:

Задача 4.  В пространстве заданы 4 точки A. B, C, D. Точка E – середина АВ, а точка F  - середина CD. Доказать,  EF=½(AC+BD).

Решение.

Задача 5. Найти радиус-вектор точки Е – центра тяжести треугольника АВС, если известны радиус-векторы его вершин.

Решение.

Задача 6. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Доказать, что в этой же точке пересекаются и прямые, соединяющие вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней.

Решение.