Решение задач по физике и математике.


Математический анализ

Функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. Предел функции нескольких пееременных. Непрерывность функции нескольких переменных по отдельной переменной и непрерывность по совокупности переменных. свойства непрерывных функций.

 

Частные производные. Производные старших порядков. достаточные условия независимости от порядка дифференцирования. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Векторно-матричная форма записи дифференциала.

 

Сложная функция нескольких переменных. Дифференцируемость сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Производная по направлению и градиент. Векторно-матричная форма записи дифференциала сложной функции.

 

Дифференциалы высших порядков. Символические формулы для дифференциалов.

 

Формула Тейлора. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

 

Понятие неявной функции. Теоремы о неявной функции, определяемой одним уравнением. Дифференцирование неявной функции. Функциональный определитель (Якобиан). Понятие зависимости функции и независимости функций. Теорема о зависимости и независимости функций. Замена переменных в дифференциальных выражениях.

 

Условный экстремум. Сведение задачи об условном экстремуме к задаче о безусловном экстремуме. Метод Лагранжа. Необходимые условия условного экстремума в форме Лагранжа. Достаточные условия условного экстремума в форме Лагранжа.

 

Понятие определенного интеграла. Интегральные суммы. Предел интегральных сумм. Верхние и нижние суммы и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора для функции нескольких переменных. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения. Существование первообразной непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной. Интегрирование по частям.

 

Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Длина кривой, плоской фигуры, коотдинаты центра масс. Методы приближенного вычисления определенного интеграла, формулы прямоугольников, трапеций, парабол. Оценка погрешности.

 

Кратные интегралы. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Криволинейные координаты на плоскости. Тройной интеграл. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Криволинейные координаты в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты.

 

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

 

Криволинейные интегралы первого рода. Криволинейные интегралы второго рода.

 

Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Физические приложения криволинейных интегралов первого и второго рода.

 

Страницы: 1 2