В посте описаны основные способы решения тригонометрических уравнений, встречающиеся в школьном курсе математике и ЕГЭ.  Здесь Вы найдете примеры решения простых тригонометрических уравнений, примеры сведения тригонометрического уравнения к квадратному, использование метода группировки и универсальной подстановки; уравнения, решаемые понижением степени, однородные тригонометрические уравнения и приводимые к ним. Все примеры снабжены комментариями, ссылками на необходимые для решения формулы. Если Вам нужно решить тригонометрические уравнения,  мы подскажем, по аналогии с каким примером их надо решить, и подскажем ход решения.

Простые тригонометрические уравнения

К этому типу уравнений относятся те, у которых в левой части стоит ТОЛЬКО ОДНА тригонометрическая функция, а в правой – только число. Тогда нужно воспользоваться формулами для выражения тригонометрической функции, и воспользоваться таблицей значений для углов ( аргументов). Важно помнить, что при некоторых значениях правой части уравнение не имеет решений. В частности значения sinx и cosx не должны быть больше 1 и меньше -1.

пример 1. Решить уравнение

Следующие два примера такие же, как и первый. Отличие только в том, что в аргументе стоит не х, а 2х. Ничего сложного в этом нет. надо сперва найти 2х по стандартной формуле, а затем выразить х ( просто поделив на 2 обе части).

пример 2. Решить уравнение

пример 3. Решить уравнение

Тригонометрические уравнения общего вида

Следующие примеры иллюстрируют общий вид тригонометрических уравнений. В общем случае в примере могут быть разные тригонометрические функции. Тогда для удобства решения нужно постараться привести все функции к одной ( а также к одинаковому аргументу!!!!), и получить простое тригонометрическое уравнение. В примере 4. воспользовались основным тригонометрическим тождеством, а затем обозначив sinx через t перешли к квадратному уравнению.

пример 4. Решить уравнение

этот пример посвящен тому, как работает метод группировки в тригонометрических уравнениях. Наша задача – свести уравнение к одной тригонометрической функции одного и того же аргумента. Если в исходном примере есть сумма синусов или косинусов разных углов, то скорее всего надо их сложить ( с помощью формул это сделать несложно). После сложения скорее всего появятся общие множители, которые можно смело вынести за скобку. В данном примере преобразование тригонометрических функций привело к тому, что произведение трех функций равно нулю. А такое возможно лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В результате мы получили 3 простых уравнения, которые вдобавок являются частными случаями ( их формулы даны в справочнике).

пример 5.  Решить уравнение

Решение: показать

Pages: 1 2