Решение задач по физике и математике.


Матрица и ее свойства; операции с матрицами

В статье рассмотрены основные определения аналитической геометрии: что такое матрица, свойства матриц, операции с матрицами , квадратные и единичные матрицы, нулевая матрица, что такое транспонирование матрицы.

Определение матрицы

Матрица - это таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Называется такая таблица матрицей m на n. Каждый элемент матрицы обозначается aij - где индекс i - номер строки, а индекс j - номер столбца. Суммой двух (m×n) матриц А и В называется такая (m×n) матрица С, каждый элемент которой равен сумме элементов исходных матриц, то есть cij=aij+bij.

Сложение матриц

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

  • А+В=В+А
  • А+В+С=(А+В)+С
  • существует единсвенная (m×n) матрица О, для которой А+О+А
  • для любой матрицы А существует матрица -А такая, что А+(-А)=О

Матрица О называется нулевой матрице. Важно помнить: мы можем складывать матрицы только одинакового размера (m×n)! Если матрицы имеют разную размерность, то складывать их нельзя!!!

Умножение матрицы на число.

Матрицы можно умножать на число. Если матрицу А умножить на число λ, то в результате мы получим матрицу В той же размерности, что и матрица А, каждый элемент которой будет равен произведению числа λ на элемент аij:

bij=λаij

Отсюда у нас есть следующие свойства матриц, связанные с умножением матрицы на число:

  • А·1=А
  • λ(μА)= (λμ)А
  • (λ+μ)А=λА+μА
  • μ(А+В)=μА+μВ

Свойства матриц

Итак, что мы можем сказать про матрицы? Матрица - это таблица чисел. Что мы можем делать с матрицами?

  1. Если есть две (m×n) матрицы А и В, то можно найти сумму этих матриц: С=А+В, где С - матрица (m×n).
  2. Если есть (m×n)матрица А и число λ, то можно найти (m×n) матрицу В=λА
  3. Для каждой (m×n) матрицы А существует свою “нулевая” матрица О, все элементы которой равны нулю.
  4. Разностью двух матриц называется матрица А+(-В), которая записывается следующим образом А-В

Частные случаи матриц

Квадратной матрицей называется матрица, в которой число строк равно числу столбцов, то есть матрица вида (m×m). Единичной матрицей называется матрица, на главной диагонали которой находятся 1, а все остальные элементы являются нулями, то есть аii =1 и аij=0. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Умножение матриц

Матрицы можно перемножать между собою, и получать новые матрицы. Но не любые матрицы можно перемножать. Перемножаемые матрицы должны удовлетворять следующему условию:

умножить матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,

то есть матрицы А и В должны иметь размерности  (m×n) и (n×k) соответственно. В результате такого перемножения получится матрица С с размерностью (m×k). Каждый элемент новой матрицы будет представлять собой “произведение” i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В. Подробнее, как умножать матрицы друг на друга смотрите в примерах в конце статьи.

Свойства произведения матриц

Умножение матриц матриц обладает следующими свойствами:

  1. А(ВС)=(АВ)С
  2. А(В+С)=АВ+АС
  3. (А+В)С=АС+ВС
  4. λ(АВ)=( λА)В=А(λВ), где λ - любое число

Pages: 1 2 3


One Response to “Матрица и ее свойства; операции с матрицами”

  1. 1
    Антон Says:

    А задачи то будут? А то у меня пересдача висит, хотелось бы чего полезного увидеть.

Leave a Reply