В записи описаны понятия скалярного произведения двух векторов, свойства скалярного произведения, условие ортогональности, нахождение угла между двумя векторами с помощью скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов

Углом между векторами х и у называется угол φ, на который следует повернуть один из векторов, для того, чтобы их направления совпадали.

Скалярным произведением векторов х и у называется число, обозначаемое через (х,у), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

(х,у)=|x|·|y|·cosφ

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов обладает следующими простыми свойствами:

1. (х,у)=(у,х);

2. х²=(х,х)=|x|²;

3. если |е|=1, то (λе,μе)=λμ;

4. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый;

5. (λх,у)=λ(х,у);

6. (х+у,z)=(х+z)+(у+z)

Ортогональность двух векторов

Из определения скалярного произведения видно, что для того, чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, то есть (х,у)=0. Когда такое может быть возможно? Это возможно если один из векторов равен нулю, либо когда cosφ=0. Так как произведение вектора на нулевой вектор нам неинтересно, то выходит, что для того, чтобы два вектора были ортогональны друг другу надо, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю:

(х,у)=0 – условие ортогональности двух векторов

Выражение скалярного произведения двух векторов через их координаты

Пусть векторы х и у разложены по ортонормированному базису i,j,k:

x=x¹i+x²j+x³k

y=y¹i+y²j+y³k

Тогда работает следующая теорема: скалярное произведение двух векторов, заданных своими разложениями по ортонормированному базису, равно сумме произведений из соответсnвующих координат, т. е.

(х,у)=x¹y¹+x²y²+x³y³

Условие ортогональности двух векторов еще раз

Из описанной выше теормеры следует, что необходимым и достаточным условием ортогональности векторов является также и следующее равенство:

x¹y¹+x²y²+x³y³=0

Угол между двумя векторами

Из описания двух способов нахождения скалярных произведений можно получить формулу для нахождения угла между векторами ( точнее косинуса угла между векторами). Из второго определения скалярного произведения можно получить выражение для модуля вектора:

(х,х)=x¹х¹+x²х²+x³х³=|x|²

Отсюда можно найти х. В итоге формула для косинуса угла между двумя векторами х и у имеет следующий вид:

cosφ= (х,у)/|x|·|y|=(x¹y¹+x²y²+x³y³)/√x¹х¹+x²х²+x³х³·√y¹y¹+y²y²+y³y³