Из статьи Вы узнаете, что такое определенный интеграл, как найти определенный интеграл от элементарных функций, как работает формула Ньютона-Лейбница, как определенный интеграл связан с первообразной и границами интегрирования, как найти площать криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.

Определенный интеграл

Задача: найти площадь под кривой f(x), ограниченной осью координах Ох. и прямыми х=ф и х=b. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга. Используя геометрические соображения мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок на n равных частей (рис б). Тогда заданная площадь разобьется на n узеньких прямоугольников. Рассмотрим k-ый прямоугольник. Будем считать, что его площадь равна произведению основания Δx на высоту f(xk). В итоге получается, что общая площадь под нашей кривой представляет собой сумму площадей таких вот узеньких прямоугольников. Если делать основание все меньше, то прямоугольников будет получаться все больше! В итоге мы предем к сумме таких вот прямоугольников, S=Σ f(xk)·Δx, которая равна при Δx→0, равна интегралу. 

Вот эта площадь, ограниченная функцией f(x), осью координат Ох и прямыми х=а и х=b и называется определенным интегралом.

Отличие определенного интеграла от неопределенного лишь тем, что определенный интеграл имеет конкретные числовые границы, которые пишутся снизу (нижняя граница) и сверху (верхняя граница) от знака интеграла. Ищется определенный интеграл точно также как и неопределенный. Найти интеграл означает найти первообразную подынтегральной функции. Единственное, что в это первообразную вместо переменной х надо подставить границы. То, как подставлять границы интеграла показывает, формула Ньютона-Лейбница, которая показывает, как выражается определенный интеграл через первообразные функции.

Формула Ньютона-ЛейбницаФормула Ньютона-Лейбница утверждает следующее:

Определенный интеграл с границами интегрирования от a до b равен разности первообразных F(b)-F(a),

где а- нижняя граница интегрирования (пишется под знаком интеграла) , а b- верхняя граница интегрирования.