В статье описаны основы линейной алгебры: линейное пространство, его свойства, понятие базиса, размерности пространства, линейная оболочка, связь линейных пространств и рангом матриц.

Линейное пространство

Множество L называется линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющее I группе аксиом Вейля. Элементы линейного пространства называются векторами. Это полное определение; более кратко можно сказать, что линейное пространство – это множество элементов, для которых определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число.

Аксиомы Вейля.

Герман Вейль предположил, что в геометрии у нас есть два типа объектов (вектора и точки), свойства которых описываются следующими аксиомами, которые и были положены в основу раздела линейной алгебры. Аксиомы удобно разбить на 3 группы.

Группа I

1. для любых векторов х и у выполняется равенство х+у=у+х;
2. для любых векторов х, у и z выполняется равенство х+(у+z)=(х+y)+z;
3. существует такой вектор о, что для любого вектора х выполняется равенство х+о=х;
4. для любого вектора х существует такой вектор (-х), что х+(-х)=о;
5. для любого вектора х имеет место равенство 1х=х;
6. для любых векторов х и у и любого числа λ выполняется равенство λ(х+у)=λх+λу;
7. для любого вектора х и любых чисел λ и μ имеет место равенство (λ+μ)х=λх+μх;
8. для любого вектора х и любых чисел λ и μ имеет место равенство λ(μх)=(λμ)х;

Группа II

Группа I определяет понятие линейной комбинации векторов, линейной зависимости и линейной независимости. Это позволяет сформулировать еще две аксиомы:

1. существует n линейно независимых векторов;
2. любые (n+1) векторов линейно зависимы.

Для планиметрии n=2, для стереометрии n=3.

Группа III

Даная группа предполагает, что имеется операция скалярного умножения, ставящая в соответствие паре векторов х и у число (х,у). При этом:

1. для любых векторов х и у выполняется равенство (х,у)=(у,х);
2. для любых векторов х , у и z выполняется равенство (х+у,z)=(x,z)+(y,z);
3. для любых векторов х и у и любого числа λ выполняется равенство (λх,у)=λ(х,у);
4. для любого вектора х имеет место неравенство (х,х)≥0, причем (х,х)=0 тогда и только тогда, когда х=0.

Свойства линейного пространства

В большинстве своем свойства линейного пространства основаны на аксиомах Вейля:

1. Вектор о, существование которого гарантируется аксиомой 3, определяется единственным образом;
2. Вектор (-х), существование которого гарантируется аксиомой 4, определяется единственным образом;
3. Для любых двух векторов а и b, принадлежащих пространству L, существует единственный вектор х, также принадлежащий пространству L, являющийся решением уравнения a+x=b и называемый разностью векторов b-a.

Определение. Подмножество L’ линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L, если оно само является линейным пространством, в котором сумма векторов и произведение вектора на число определяются также, как в L.

Определение. Линейной оболочкой L(х1, х2, х3, …, хk) векторов х1, х2, х3, и хk называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Про линейную оболочку можно сказать, что

- линейная оболочка является линейным подпространством;

– линейная оболочка является минимальным линейным подпространством, содержащим векторы х1, х2, х3, и хk.

Определение. Линейное пространство называется n- мерным, если оно удовлетворяет II группе системы аксиом Вейля. Число n называется размерностью линейного пространства и пишут dimL=n.

Базис – любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства . Смысл базиса таков, что векторами , составляющими базис, можно расписать любой вектора в пространстве .

Теорема. Любые n линейно независимых векторов в пространстве L образуют базис.

Изоморфизм.

Определение. Линейные пространства L и L’ называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие х↔х’, что:

1. если х↔х’, у↔у’, то х+у↔х’+у’;
2. если х↔х’, то λх↔λх’.

Само это соответствие называется изоморфизмом. Изоморфизм позволяет сделать следующие утверждения:

• если два пространства изоморфны, то их размерности равны;
• любые два линейных пространства над одним и тем же полем и одинаковой размерности изоморфны.