Решение задач по физике и математике.

Дифференциальные уравнения 1го порядка

Сентябрь 13th, 2010 admin Posted in Задачник | No Comments »

В записи приведены условия 30 типовых дифференциальных уравнений первого порядка, решения которых Вы можете найти на сайте.

Задача 1. Решить уравнение $x(y^2-4)dx+ydy=0$
Задача 2. Найти частный интеграл уравнения $y'cosx=\frac{y}{lny}$ , удовлетворяющий начальному условию $y(0)=1$
Задача 3. Найти общий интеграл уравнения $y'=tgxtgy$
Задача 4. Найти частное решение дифференциального уравнения $(1+x^2)dy+ydx=0$ при начальном условии $y(1)=1$
Задача 5. Найти кривые, у которых сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная, равная а.
Задача 6. Цилиндрический резервуар с высотой 6м и диаметром основания 4м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?
Задача 7. В комнате, где температура 20 градусов Цельсия, некоторое тело остывает за 20 мин от 100С до 60С. Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 30С? Повышением температуры в комнате пренебречь.
Задача 8. Определить время, необходимое для установления одинакового уровня жидкости в двух сообщающихся сосудах. Малое отверстие между сосудами имеет площадь s квадратных метров. Площади горизонтальных сечений первого и второго сосудов составляют $S_1$ и $S_2$ метров квадратных, в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде находился на высоте $h_1$ м от отверстия, а во втором – на высоте $h_2$ м.
Задача 9. Найти общий интеграл уравнения $(x^2+2xy)dx+xydy=0$
Задача 10. Найти частное решение уравнения $y'=\frac{y}{x}+sin{\frac{y}{x}}$ при начальном условии $y(1)=\frac{\pi}{2}$
Задача 11. Найти кривую, проходящую через точку А(0;1), для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиусом-вектором точки касания, – равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).
Задача 12. Найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку
Задача 13. Найти ортогональные траектории семейства парабол $x=ay^2$ (а – параметр семейства).
Задача 14. Найти общий интеграл уравнения $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0$
Задача 15. Найти общий интеграл уравнения $(x+y+2)dx+(2x+2y-1)dy=0$
Задача 16. Найти общий интеграл уравнения $(e^x+y+siny)dx+(e^x+x+xcosy)dy=0$
Задача 17. Найти общий интеграл уравнения $(x+y-1)dx+(e^y+x)dy=0$
Задача 18. Найти общий интеграл уравнения $(xcosy-ysinx)dy+(xsiny+ycosy)dx=0$
Задача 19. Проинтегрировать уравнение $y'cos^2x+y=tgx$ при начальном условии $y(0)=0$ .
Задача 20. Проинтегрировать уравнение $y'-ythx=ch^2x$
Задача 21. Проинтегрировать уравнение $y'+\frac{xy}{1-x^2}=arcsinx+x$
Задача 22. Решить уравнение $y'+\frac{y}{x}=x^2y^4$
Задача 23. Проинтегрировать уравнение $y'-\frac{2xy}{1+x^2}=4\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1+x^2}}arctgx$
Задача 24. Проинтегрировать уравнение $y=xy'+y'lny$
Задача 25. Проинтегрировать уравнение $(x^2lny-x)y'=y$
Задача 26. Проинтегрировать уравнение $x=y'siny'+cosy'$
Задача 27. Проинтегрировать уравнение $y'=arctg(y/y'^2)$
Задача 28. Проинтегрировать уравнение $x=y'+lny'$
Задача 29. Проинтегрировать уравнение $y=xy'-e^{y'}$
Задача 30. Проинтегрировать уравнение $y=xy'^2+y'^2$