Решение задач по физике и математике.


Неравенства: методы решения и разобранные примеры

Методы решения неравенств зависят от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенства. В данной статье описываются методы решения квадратных неравенств, алгебраических неравенств высших степеней, дробно-рациональных неравенств, неравенств с модулем, иррациональных неравенств.

Совокупность двух выражений, соединенных между собой знаками > (больше) или

Квадратные неравенства

Все квадратные неравенства основаны на свойствах квадратичной функции (параболы). Поэтому если вы хорошо представляете себе эту тему, то проблем с решением этих таких неравенств у вас не возникнет. Если про параболу вы можете сказать ничего, кроме того, что это слово имеет отношение к математике, то все объяснения по квадратному уравнению и графику функции вы сможете найти здесь (ссылка на квадратное уравнение) и здесь (ссылка на графики). Суть же решения квадратных неравенств сводится к следующему:

  1. понять, какую параболу представляет из себя условие задачи;
  2. найти корни уравнения;
  3. определить знаки, которые принимает функция на каждом интервале;
  4. записать ответ с правильным включением границ необходимых интервалов.

Рассмотрим пример решения квадратного неравенства.

Пример. Решите неравенство

Алгебраические неравенства высших степеней

Суть метода. С помощью методов решения рациональных уравнений нужно многочлен степени n разложить на множители. При этом следует сокращать на заведомо положительные выражения или отрицательные ( в последнем случае знак неравенства нужно менять на противоположный). Затем знаки вычисляются как по методу интервалов, и находится ответ в виде интервала или объединения интервалов.

Пример. Решите неравенство

Дробно-рациональные неравенства

Данные неравенства следует решать по следущей схеме:

  1. Перенести все члены неравенства в левую часть;
  2. Все члены неравенства в левой части  привести к общему знаменателю и постараться представить числитель и знаменатель в виде множителей;
  3. Заменить дробное неравенство целым, т. е. домножить правую и левую часть на знаменатель (внимание!!! при домножении и правой и левой части неравества на отрицательное число знак неравенства следует поменять на противоположный!);
  4. решить полученное неравенство методом интеравалов (как и алгебраическое неравенство высших степеней).

Пример. Решить дробное неравенство

Неравенства с модулем

Решение неравенства с модулем сводится к операции раскрытия модуля и решению двух новых получившихся в результате неравенств. Полезно помнить, что решением неравенства |x|0 (-a,a) |x|>a, a>0 (-∞,-a)U(a,+∞).

Пример. Решить неравенство

Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что область определения четного корня является положительная полуось Ох, а областью определения корня нечентной степени является вся числовая ось. Перед решением следует привести неравенство к такому виду, чтобы в левой части находился корень, а в правой некоторая функция (все остальное, что было в примере). Далее рассуждения должны быть следующими (для корня четной степени):

  1. Подкоренное выбражение должно быть больше или равно 0 – решаем это неравенство;

    Pages: 1 2


49 Комментариев на странице “Неравенства: методы решения и разобранные примеры”

  1. саня написал:

    cosx <\frac{1}{2}

    Ответ на вопрос

  2. Михаил написал:

    Покажите,пожалуйста,ход решения:1,1 в степени 0,33 равно

    Ответ на вопрос

    admin Reply:

    Вот вам подсказка:
     (1+x)^a=1+a\cdot x\\\\x \to 0 \\\\ 1.1=1+0.1.....

    Ответ на вопрос

    Михаил Reply:

    Я просил ход и окончательное решение по конкретному примеру(как возвести в данную степень и какое число будет в решении)

    Ответ на вопрос

    admin Reply:

    если не хотите сами думать, то заказывайте платное решение. но, если вглядеться в мой комментарий, то там осталось только ваши цифры подставить и умножить 0.33 на 0.1.

    Ответ на вопрос

  3. Аня написал:

    2(x2+2)больше или= х(х+5)

    Ответ на вопрос

    kolebatel Reply:

    2(x^2+2) \geq x(x+5)\\\\2x^2+4-x^2-5=x^2-1\geq 0
    Из последнего неравенства видно, что это парабола, ветви которой направлены вверх, значит неравенство будет выполняться при
    x\epsilon (-\infty ;-1]U[1;\infty )

    Ответ на вопрос

  4. димам написал:

    решить неравенство:x в квадрате -1

    Ответ на вопрос

    kolebatel Reply:

    такой же пример, как у Ани, только нужно взять интервал между двумя корнями уравнения
    x\epsilon [-1;1]

    Ответ на вопрос

  5. Димон) написал:

    пасиб! ребята)) правда чот не получилась задача с дробью(((

    Ответ на вопрос

  6. Настя написал:

    Помогите найти число целых решений неравенства.
    8x+3/(x2+2x+1)(x2+x-6)>=1/x2-x-2

    Ответ на вопрос

  7. Наташа написал:

    Помогите, пожалуйста решить неравенство 4cos в квадрате t

    Ответ на вопрос

  8. юляха написал:

    помогите пожалуйста
    125*3 в степени 2x-7 минус 27*5 в степени 2x-7 все это больше нуля

    Ответ на вопрос

    kolebatel Reply:

    \left (125\cdot 3 \right )^{2x-7 }- \left ( 27\cdot 5 \right ) ^{2x-7}\geq0\left (5^3\cdot 3 \right )^{2x-7 }- \left ( 3^3\cdot 5 \right ) ^{2x-7}\geq0

    \frac{\left (5^3\cdot 3 \right )^{2x-7 }}{\left ( 3^3\cdot 5 \right ) ^{2x-7}}\geq1
     \frac{5^{6x-21}3^{2x-7}}{3^{6x-21}5^{2x-7}}\geq 1

    \frac{5^{4x-14}}{3^{4x-14}}\geq1\Rightarrow \left ( \frac{5}{3} \right )^{4x-14}\geq\left ( \frac{5}{3} \right )^0
    4x-14\geq0 \to x\geq7

    Ответ на вопрос

  9. ольга написал:

    пожалуйста помогите с решением неравенства:
    (log (x/3) по основанию корень квадратный из (2x^2 – 7x + 6)) больше нуля…

    Ответ на вопрос

  10. Алексей228 написал:

    помогите пожалуйста решить срочно надо:
    3/х в квадрате>9

    Ответ на вопрос

  11. аня написал:

    помогите решить…
    найдите наибольшее целое решение неравенства
    19 в степени х больше 21 в степени х

    Ответ на вопрос

  12. Ириска написал:

    решите пожалуйста…
    Найдите наименьшее целое решение неравенства
    11 в степени 3х-1+11 в степени 3х-2 больше 12

    Ответ на вопрос

Оставить комментарий