В записи описаны формулы нахождения характеристик случайных величин. Начальный момент н-го порядка, центральный момент н-го порядка, эксцесс случайной величины, асимметрия случайной величины.

Начальным моментом s-ro порядка дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения

Х[ Xi ч2 … Хп …

Pi Pi Р2 … Рп …

называется сумма ряда.

Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения / (х) начальным моментом s-ro порядка называется интеграл

+ 00

ocs = \ xsf (x) dx.

— GO

Нетрудно видеть, что начальный момент первого порядка случайной величины X равен математическому ожиданию этой случайной величины: аг = М (X).

Центральным моментом s-ro порядка дискретной случайной величины X называется сумма ряда

м5 = (Чй — МчХСй + (Ч2 — МчХС2+’•• + (Чз—ЯзчХсз+…Я

где тх — математическое ожидание случайной величины X.

Для непрерывной случайной величины центральным моментом s-ro порядка называется интеграл

+ 00

м*= \ (x—mxyf(x)dx.

— 00

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, т. е. мй = 0.

Центральный момент второго порядка любой случайной величины равен дисперсии случайной величины, т. е. м2 = ы (X).

Центральные и начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков связаны соотношениями:

мй = 0,

м2 = б2 — бй,

м3 = б3 — 3бйб2 + 2б?,

м4 = б4 — 4бйб3 + 6бйб2 — 3бЯ.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, т. е. мй = м3 = = м5=…=0.

Отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения называется асимметрией:

5/5 = м3/у*.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то для кривой распределения (гистограммы) 5^ = 0.

На рис. 46 и 47 изображены гистограммы для S^ > 0 и S& < 0.

ЙЙЙ

РИС

Эксцессом случайной величины X называется величина ЕХУ определяемая равенством

Ј\, = м4/уЈ—3.

Для нормального закона распределения Ех = 0.

Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной (так называемой кривой Гаусса) у обладают положительным эксцессом; для кривых, более плосковершинных, Ех < 0 (рис. ).