В записи разобран закон большого числа. Теорема Чебышева, теорема Бернулли, формулы и комментарии.

1. Теорема Чебышева. Говорят, что случайная величина Хп сходится по вероятности к а, если при всех достаточно больших п выполняется неравенство

Формула 1.

где е — произвольное малое положительное число, а значение д зависит от выбора е и д. В терминах данного определения теорему Чебышева можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.

Формула 2

В этом неравенстве можно принять 0 < д <

случайной величины X.

Теорема Чебышева является одним из законов больших чисел, которые лежат в основе многих практических применений теории вероятностей.

2. Теорема Бернулли. Другим и притом простейшим (и ранее всех установленным) законом больших чисел является теорема Я. Бернулли.

Теорема Бернулли устанавливает, что при неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности к вероятности события, т. е.

li¬ne,*

если вероятность события от

( причем можно принять, что 0 < д <

испытания к испытанию не изменяется и равна р (<7=1—р)