В статье рассмотрены основные определения для работы с матрицами: что такое матрица, свойства матриц, операции с матрицами , квадратные и единичные матрицы, нулевая матрица, что такое транспонирование матрицы.

Определение матрицы

Матрица – это таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Называется такая таблица матрицей m на n. Каждый элемент матрицы обозначается aij – где индекс i – номер строки, а индекс j – номер столбца. Суммой двух (m×n) матриц А и В называется такая (m×n) матрица С, каждый элемент которой равен сумме элементов исходных матриц, то есть cij=aij+bij.

Сложение матриц

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

• А+В=В+А
• А+В+С=(А+В)+С
• существует единсвенная (m×n) матрица О, для которой А+О+А
• для любой матрицы А существует матрица -А такая, что А+(-А)=О

Матрица О называется нулевой матрице. Важно помнить: мы можем складывать матрицы только одинакового размера (m×n)! Если матрицы имеют разную размерность, то складывать их нельзя!!!

Умножение матрицы на число.

Матрицы можно умножать на число. Если матрицу А умножить на число λ, то в результате мы получим матрицу В той же размерности, что и матрица А, каждый элемент которой будет равен произведению числа λ на элемент аij:

bij=λаij

Отсюда у нас есть следующие свойства матриц, связанные с умножением матрицы на число:

• А·1=А
• λ(μА)= (λμ)А
• (λ+μ)А=λА+μА
• μ(А+В)=μА+μВ

Свойства матриц

Итак, что мы можем сказать про матрицы? Матрица – это таблица чисел. Что мы можем делать с матрицами?

1. Если есть две (m×n) матрицы А и В, то можно найти сумму этих матриц: С=А+В, где С – матрица (m×n).
2. Если есть (m×n)матрица А и число λ, то можно найти (m×n) матрицу В=λА
3. Для каждой (m×n) матрицы А существует свою “нулевая” матрица О, все элементы которой равны нулю.
4. Разностью двух матриц называется матрица А+(-В), которая записывается следующим образом А-В

Частные случаи матриц

Квадратной матрицей называется матрица, в которой число строк равно числу столбцов, то есть матрица вида (m×m). Единичной матрицей называется матрица, на главной диагонали которой находятся 1, а все остальные элементы являются нулями, то есть аii =1 и аij=0. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Умножение матриц

Матрицы можно перемножать между собою, и получать новые матрицы. Но не любые матрицы можно перемножать. Перемножаемые матрицы должны удовлетворять следующему условию:

умножить матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,

то есть матрицы А и В должны иметь размерности  (m×n) и (n×k) соответственно. В результате такого перемножения получится матрица С с размерностью (m×k). Каждый элемент новой матрицы будет представлять собой “произведение” i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В. Подробнее, как умножать матрицы друг на друга смотрите в примерах в конце статьи.

Свойства произведения матриц

Умножение матриц матриц обладает следующими свойствами:

1. А(ВС)=(АВ)С
2. А(В+С)=АВ+АС
3. (А+В)С=АС+ВС
4. λ(АВ)=( λА)В=А(λВ), где λ – любое число

Все это поможет Вам решать примеры и грамотно складывать и перемножать матрицы между собой. Порой знание этих свойств делает операцию перемножения матриц не сложнее перемножения чисел.

Транспонирование матрицы

Матрица называется транспонированной,  если ее столбцы переписать в виде строк. Иными словами, если у нас есть матрица А, то матрица, полученная в результате транспонирования матрицы А, будет иметь столбцы в виде строк матрицы А,  то есть

(рисунок)

Ранг матрицы

Еще одно понятие,  которое связано с матрицами, это ранг матрицы. Рангом матрицы называется наибольшее число ее линейно независимых строк. Ранг матрицы А обозначается так: rangA

Примеры решения задач по теме матрицы, свойства матрицы, умножение матриц, транспонирование матриц.

Здесь Вы сможете найти ряд типовых задач, связанных с матрицами.

Пример 1. Даны матрицы А и В:

Найти: а) А+В; б) 2В; АВ^Т; г) В^ТА.

Решение:

а) по определению суммы матриц

б) по определению произведения матрицы на число
в) по определению транспонированной матрицы
г) по определению произведения матриц
д) по аналогии с пунктом г) находим

Пример 2. Для матрицы найти обратную матрицу
Решение:
Пусть, обратная матрица равна
По определению обратной матрицы А-1А=Е, то есть

Перемножая матрицы в левой части равенства и приравнивая элементы полученной матрицы соответсвующим элементам матрицы в правой части равенства, приходим к системе уравнений откуда находим
Ответ:

Пример 3.
Вычислить определитель .
Решение:

Задачу можно решить двумя способами: а) найти определитель по правилу треугольника; б) разложить определитель D по элементам первого столбца и умножить их на алгебраические дополнения.
а) D=1•5•(-1)+(-2) •7•(-3)+2•4•0-0•5•(-3)-(-2) •2•(-1)-1•4•7=5
б) для нахождения определителя вторым способом воспользуемся формулой . Получим
Ответ: 5

Пример. 4 Вычислить определитель

Решение: преобразуем определитель D, не меняя его значения, таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме второго, стали равными нулю. С этой целью из первой строки вычтем вторую, умноженную на 2, к третьей строке прибавим вторую, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 4 ( все эти действия не изменяют значения определителя). Получим

Ответ: -2006.

Похожие статьи:

1. Свойства числовых неравенств
2. Аналитическая геометрия и Линейная алгебра