Решение задач по физике и математике.

Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности

Апрель 5th, 2010 admin Posted in Мат анализ | No Comments »

В записи рассмотрены типовые задачи на криволинейные интегралы и интегралы по поверхности. Разобраны решения криволинейных интегралов по длине дуги и по координатам, физические приложения криволинейных интегралов ( нахождение массы, координаты центра тяжести, нахождение функции по ее полному дифференциалу, нахождение полного дифференциала, решение дифференциальных уравнений, применение формулы Грина. Также разобраны примеры на нахождение площади фигуры, ограниченной заданными кривыми, вычисление поверхностных интегралов, момента инерции, статистические моменты, формула Остроградского-Гаусса. Также разобраны элементы теории поля (дивергенция векторного поля, поток радиус-вектора, циркуляция векторного поля, градиент, ротор). Все решения задач содержат подробные пошаговые объяснения. Решения задач, не разобранных в рубрике, будут бесплатно добавлены на основе Вашего примера.

Криволинейный интеграл по длине дуги

Задача 193. Вычислить $\int_{K}(x-y)ds$ , где К – отрезок прямо АВ. $A(0;0),\;\;B(4;3)$
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20193

Задача 194. Вычислить $\int_{K}x^2ydy-y^2xdx$ , если $x=\sqrt{cost},\;\;y=\sqrt{t},\;\;0\leq t\leq \pi/2$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20194

Задача 195. Найти массу М дуги кривой $x=t,\;\;y=\frac{t^2}{2},\;\;3=\frac{t^3}{3},\;\;(0\leq t\leq 1)$ . Линейная плотность которой меняется по закону $\gamma =\sqrt{2y}$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20195

Задача 196. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды $x=t-sint,\;\;y=1-cost\;\;(0\leq t\leq \pi)$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20196

Задача 197. Найти координаты центра тяжести дуги окружности $x^2+y^2=R^2\;\;(0\leq x\leq R,\;\;0\leq y\leq R)$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20197

Нахождение функции по ее полному дифференциалу
Задача 198. Вычислить $I=\int_{(1;1)}^{(2;3)}(x+3y)dx+(y+3x)dy$
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20198

Задача 199. Найти первообразную функция U, если $dU=\left [ y+ln(x+1) \right ]dx+(x+1-e^y)dy$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20199

Задача 200. Найти U(x,y), если $dU=\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}\right )dx+\left( \frac{2}{y} -\frac{x}{y^2}\right )dy$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20200

Задача 201. Решить дифференциальное уравнение $(4x^3y^3-3y^2+8)dx+(3x^4y^2-6xy-1)dy=0$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20201

Задача 202. Решить дифференциальное уравнение $(2e^{2x}+y+siny)dx+(e^{3y}+x+xcosy)dy=0$
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20202

Формула Грина

Задача 203. Применяя формулу Грина, вычислить $I=\oint_{C}2(x^2+y^2)dx+(x+y)^2dy$ , если С – контур треугольника с вершинами $L(1;1),\;\;M(2;2),\;\;N(1;3)$ , пробегаемый против хода часовой стрелки. Проверить результат непосредственным интегрированием.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20203

Задача 204. Применяя формулу Грина, вычислить $\oint_{C}-x^2ydx+xy^2dy$ , если С – окружность $x^2+y^2=R^2$ , пробегаемая против хода часовой стрелки. Купить решение задачи онлайн, код задачи 20204

Вычисление площади

Задача 205. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=x^2,\;\;x=y^2,\;\;8xy=1$ (имеется в виду площадь, примыкающая к началу координат).
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20205

Задача 206. Вычислить площадь, ограниченную астроидой $x=acos^3t,\;\;y=asin^3t$ , предварительно построив кривую.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20206

Поверхностные интегралы

Задача 207. Вычислить $I=\iint_{S}(x^2+y^2)dS$ , где S – часть конической поверхности $z^2=x^2+y^2$ , заключенной между плоскостями $z=0,\;\;z=1$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20207

Задача 208. Вычислить интеграл $I=\iint_{S}x^2y^2zdxdy$ , по верхней стороне верхней половины сферы $x^2+y^2+z^2=R^2$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20208

Задача 209. Найти момент инерции полусферы $z=sqrt{a^2-x^2-y^2}$ относительно оси Oz.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20209

Задача 210. Вычислить координаты центра тяжести части плоскости $z=x$ , ограниченной плоскостями $x+y=1,\;\;y=0,\;\;x=0$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20210

Задача 211. Найти массу поверхности сферы и статический момент $M_{xy}$ верхней полусферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20211

Формула Стокса и Гаусса

Задача 212. Вычислить $I=\oint x^2y^3dx+dy+zdz$ , если С – окружность $x^2+y^2=z^2,\;\;z=0$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20212

Задача 213. Найти поверхностный интеграл $\iint_{S}(xcos\alpha +ycos\beta +zcos\gamma )dS$ , распространенный по поверхности S тела, ограниченного этой поверхностью.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20213

Задача 214. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл по замкнутой поверхности S $I=\iint_{S}\frac{\partial u}{\partial x}dydz+\frac{\partial u}{\partial y}dxdz+\frac{\partial u}{\partial z}dxdy$ в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20214

Теория поля

Задача 215. Найти дивергенцию векторного поля $\mathbf{F}=x^2\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20215

Задача 216. Дано скалярное поле $u(x,y,z)$ . Найти $div(gradu)$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20216

Задача 217. Дано электрическое векторное поле, в каждой точке которого по закону Кулона действует вектор $\mathbf{F}=\frac{ke}{r^2}\mathbf{r_0}$ . Определить поток векторного поля через сферу $x^2+y^2+z^2=R^2$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20217

Задача 218. Найти поток радиуса-вектора $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ через замкнутую поверхность $z=1-\sqrt{x^2+y^2},\;\;z=0\;\;(0\leq z\leq 1)$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20218

Задача 219. Найти поток радиуса-вектора $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ через внешнюю сторону поверхности прямого кругового цилиндра, если начало координат совпадает с центром нижнего основания цилиндра, R – радиус основания цилиндра, h- его высота.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20219

Задача 220. Найти поток векторного поля $\mathbf{F}=(2z-x)\mathbf{i}+(x+2z)\mathbf{j}+3z\mathbf{k}$ через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости $x+4y+z-4=0$ координатными плоскостями в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью Oz острый угол.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20220

Задача 221. Вычислить линейный интеграл от радиуса-вектора $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ вдоль дуги винтовой линии $x=Rcost,\;\;y=Rsint,\;\;z=at$ б если $0\leq t\leq 2\pi$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20221

Задача 222. Найти циркуляцию вектора $\mathbf{F}=-\omega y\mathbf{i}+\omega x\mathbf{j}$ по окружности $x=acost,\;\;y=asint$ в положительном направлении.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20222

Задача 223. Найти циркуляцию векторного поля $\mathbf{F}=(x+3y+2z)\mathbf{i}+(2x+z)\mathbf{j}+(x-y)\mathbf{k}$ по контуру треугольника MNP, где $M(2;0;0),\;\;N(0;3;0),\;\;P(0;0;1)$ .
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20223

Задача 224. Тело вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью $\mathbf{\omega}$ . Найти вихрь скорости в произвольной точке тела.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20224

Задача 225. Найти циркуляцию вектора $\mathbf{F}=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}+a\mathbf{k}\;\;(a=const)$ вдоль окружности $x^2+y^2=1,\;\;z=0$ в положительном направлении.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20225

Задача 226. Показать, что поле $\mathbf{F}=(2xy+3y^2+9y)\mathbf{i}+(x^2+6xy+9x)\mathbf{j}$ является потенциальным, и найти потенциал этого поля.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20226

Задача 227. Найти потенциал ньютоновского поля притяжения.
Купить решение задачи онлайн, код задачи 20227

Решение задач по физике и математике.

Страницы

Войти на сайт

Теория и задачи

Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности