В посте описаны основные методы решения задач на тему пределы. Описаны основы теории: предел функции, теорема Лопиталя, замечательные пределы, а также вы найдете примеры и решения задач на вычисление предела, на первый замечательный предел и второй замечательный предел.

Для решения задач надо понимать, что такое предел, и в чем заключается вычисление предела. Если писать «на пальцах», то предел – это значение выражения, содержащего неизвестную переменную, при стремлении этой самой переменной к некоторому числу.Основные определения в пределах, это предел последовательности и предел функции.

Чаще всего примеры на пределы представляют собой выражения, в которых при подстановке числа, к которому стремится переменная ( будем дальше обозначать эту переменную через х)  получается неопределенность типа 0/0 , 0/∞ , ∞/∞, ∞/0 и т.д. На первый взгляд такие примеры кажутся нерешаемыми или по крайней мере непонятными. Но на каждый такой пример есть свой способ решения пределов, который позволяет легко и просто вычислить предел и найти его решение.

Решение пределов типа ∞/∞

Чаще всего такие примеры содержат многочлены в числителе и знаменателе, причем многочлены одной и той же степени. Тогда самое простое вынести за скобку слагаемое с самой высокой степенью в числителе и знаменателе ( они удачно сократятся), а в остальных слагаемых переменная окажется в знаменателе ( а раз она стремится к бесконечности, то такая дробь будет стремиться к нулю). В итоге скорее всего решение такого предела будет определяться множителя при максимальной степени х.

Решение пределов типа ∞/0

Такие примеры удобно решать с помощью умножения на сопряженное слагаемое.

Замечательные пределы

Ряд примеров на пределы строится на основе типовых пределов, которые называются замечательные пределы. Их всего два: первый замечательный предел и второй замечательный предел. Первый замечательный предел выглядит так:

Первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 0/0.

Второй замечательный предел имеет несколько записей, среди которых самые известные и применяемые при решении пределов следующие:

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞

Разложение функций в ряд

Pages: 1 2