Тождественные преобразования алгебраических выражений представляют собой набор методов, позволяющих быстро и просто упростить сложное выражение и привести его к более компактному и удобочитаемому виду. Для решения задач по преобразованию и упрощению выражений используется ряд методов, которые разбираются ниже на примерах:методы выделения полного квадрата, вынесения общего множителя, освобождение от иррациональностей в дробях, а также преобразование выражений, содержащих модуль.

1. Вынесение общего множителя за скобки, разложение на множители.

Суть метода – путем вынесения некоторого выражения за скобки получить подобные слагаемые и затем вынести их за скобки, в результате получится произведение нескольких скобок, которые и будут представлять окончательный ответ.

разбиение некоторого слагаемого на сумму двух слагаемых

Пример. Упростить выражение. В примере мы сперва разобьем слагаемое -3х на два, затем приведем подобные слагаемые, разложим квадратное уравнение на множители, и окончательно упростим выражение с помощью формулы сокращенного умножения разность квадратов.

х³-3х+2=х³-х-2х+2=х(х²-1)-2(х-1)=х(х-1)(х+1)-2(х-1)=(х-1)(х²-х-2)=(х-1)(х-2)(х+1)=(х²-1)(х-2).

Ответ: (х²-1)(х-2).

выделение полного квадрата

Пример. Упростить выражение. В примере, мы разобьем свободный член так, чтобы получился полный квадрат, а затем воспользуемся формулой разность квадратов.

х²+10х+21=х²+2·5·х+25-4=(х+5)²-4=(х+5-2)(х+5+2)=(х+3)(х+7).

Ответ: (х+3)(х+7).

2. Освобождение от иррациональности знаменателя дроби

Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение.

Пример. Упростить выражение.

(пример со стр. 104)

3. Выделение полного квадрата под радикалом

Суть метода – получить под знаком радикала квадрат суммы/разности, чтобы далее избавиться от корня. Единственное, что следует не забывать – при снятии корня выражение необходимо помещать в модуль!

Пример. Упростите выражение.

(пример со стр. 104)

4. Преобразование алгебраических выражений, содержащих модуль

Суть метода заключается в том, что после раскрытия модуля получается не одно, а два выражения (смотрите тему про модули). Иногда бывают задачи, в которых нужно просто правильно раскрыть модуль: например |1-2| нужно раскрыть со знаком «-», так как модуль любого числа есть число положительное. В результате, после раскрытия модуля Вы получаете одно или два выражения, которые и следует преобразовывать. Вот один характерный пример на эту тему.

5. Применение различных методов

Это уже не способ преобразования алгебраических выражений, а то, что скорее всего будет встречаться на экзаменах и в ЕГЭ. Более сложные примеры отличаются от простых лишь тем, что в них нужно использовать не одну-две формулы, а сочетание формул и приемов, при чем в зависимости от порядка их использования пример может решаться проще либо сложнее. Для решения таких примеров нужно иметь некоторый опыт в решении более простых и «уметь видеть» формулы. Поэтому мы рассмотрим здесь несколько примеров, глядя на которые Вы, возможно, сможете спокойно справиться и со своими примерами самостоятельно.