В посте разобраны основные определения, касающиеся задач на полную вероятность, условную вероятность и формулу Байеса. Описаны основные способы решения задач и советы по определению вероятностей в таких задачах.

Условная вероятность

Условной вероятностью Pa(b) называют вероятность события b, вычисленную в предположении, что событие а уже наступило. На основе этой вероятности есть одна теорема, которая облегчает решение задач на условную вероятность, в которой требуется найти вероятность наступления не одного события b при условии наступления события а, но и вероятность их совместного наступления:

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную  вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)Pa(B).

В задачах возможна такая ситуация, что рассматриваемые события являются независимыми. Что тогда делать? Прежде всего вспомним, что событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности. Если в примере имеем дело с двумя независимыми событиями, то тогда теорема умножения событий имеет вид Р(АВ)=Р(А)Р(В). Равенство, выделенное жирным шрифтом, принимается в качестве определения независимых событий: два события называются независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми.

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них. Как найти вероятность появления хотя бы одного из этих событий? Ответ дает следующая теорема:

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1, А2, …, Аn. (А1 – событие, противоположное событию А1): Р(А)=1-q1q2… qn.

Частный случай: если события А1, А2, …, Аn имеют одинаковую вероятность q, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P(A)=1-q^n.

Полная вероятность

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, … , Вn, которые образуют полную группу. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема о полной вероятности

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, … , Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+ … +Р(Вn)РВn(А). Эта формула называется «формулой полной вероятности».

Вероятность гипотиз. Формулы Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, … , Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно. какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+ … +Р(Вn)РВn(А).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будет искать условные вероятности Ра(В1)б Ра(В2), … , Ра(Вn).

Найдем сначала условную вероятность Ра(В1). По теореме умножения имеем

Р(АВ1)=Р(А)Ра(В1)=Р(В1)Рв1(А).

Отсюда

Ра(В1)=Р(В1)Рв1(А)/Р(А)=Р(В1)Рв1(А)/Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+ … +Р(Вn)РВn(А).

Эта формула называется формулой Байеса: она определяет условную вероятность гипотезы В1. Точно также можно найти условные вероятности всех остальных гипотез. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Примеры применения задач.

В каких задачах и как использовать данные формулы? Первые из рассмотренных понятий, понятия условной и полной вероятности говорят сами за себя – там где надо найти полную вероятность либо условную вероятность. А где применять формулы Байеса? для решения каких задач. Рассмотрим следующий пример:

детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролер. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверки была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Соответсвенно, в задачах, где есть несколько событий (проверка деталей), которые могу привести к одному и тому же результату ( что деталь будет признана годной) и используется формула Байеса.

Разобранные примеры, помещенные в открытом доступе Вы сможете найти здесь.

Мой блог находят по следующим фразам

• примеры решения пределов функции
• теорема умножения вероятностей.решение задач
• решение задач формула полной вероятности
• примеры решения задач "распределение молекул по скоростям"
• Найти условную вероятность Р а(В).
• Решение неопределенных интегралов
• Клиент для комментариев WordPress