В статье описано, что такое степенная функция, как выглядит график степенной функции, основные свойства, примеры решения задач с использованием графика степенной функции; зависимость графика функции от значения степени.

Степенная функция

Функция вида у(х)=хn, где n - число, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени - парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени - кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

Степенная функция у=х² имеет график функции, изображенный на рисунке. Из рисунка видно, что графиком функции у=х² является парабола. Степенная функция у=х² обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x)=R - функция определена на все числовой оси;
2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;
3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).
5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).
6. В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз. возможные варианты будут представлены ниже в разделе Графики степенных функций для сравнения с другими возможными случаями степенных функции.

Степенная функция у=х³

Степенная функция у=х³ имеет график функции, изображенный на рисунке. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x)=R - функция определена на все числовой оси;
2. E(y)=(-∞;∞) - функция принимает все значения на своей области определения;
3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
6. В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. возможные варианты будут представлены ниже в разделе Графики степенных функций для сравнения с другими возможными случаями степенных функции.

Степенная функция с целым отрицательным показателем

Степенная функция с целым отрицательным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n - нечетное число; E(y)=(0;∞), если n - четное число;
3. Функция убывает на всей области определения, если n - нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n - четное число.

   Pages: 1 2