Методы решения неравенств зависят от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенства. В данной статье описываются методы решения квадратных неравенств, алгебраических неравенств высших степеней, дробно-рациональных неравенств, неравенств с модулем, иррациональных неравенств.

Совокупность двух выражений, соединенных между собой знаками > (больше) или

Квадратные неравенства

Все квадратные неравенства основаны на свойствах квадратичной функции (параболы). Поэтому если вы хорошо представляете себе эту тему, то проблем с решением этих таких неравенств у вас не возникнет. Если про параболу вы можете сказать ничего, кроме того, что это слово имеет отношение к математике, то все объяснения по квадратному уравнению и графику функции вы сможете найти здесь (ссылка на квадратное уравнение) и здесь (ссылка на графики). Суть же решения квадратных неравенств сводится к следующему:

1. понять, какую параболу представляет из себя условие задачи;
2. найти корни уравнения;
3. определить знаки, которые принимает функция на каждом интервале;
4. записать ответ с правильным включением границ необходимых интервалов.

Рассмотрим пример решения квадратного неравенства.

Пример. Решите неравенство

Алгебраические неравенства высших степеней

Суть метода. С помощью методов решения рациональных уравнений нужно многочлен степени n разложить на множители. При этом следует сокращать на заведомо положительные выражения или отрицательные ( в последнем случае знак неравенства нужно менять на противоположный). Затем знаки вычисляются как по методу интервалов, и находится ответ в виде интервала или объединения интервалов.

Пример. Решите неравенство

Дробно-рациональные неравенства

Данные неравенства следует решать по следущей схеме:

1. Перенести все члены неравенства в левую часть;
2. Все члены неравенства в левой части  привести к общему знаменателю и постараться представить числитель и знаменатель в виде множителей;
3. Заменить дробное неравенство целым, т. е. домножить правую и левую часть на знаменатель (внимание!!! при домножении и правой и левой части неравества на отрицательное число знак неравенства следует поменять на противоположный!);
4. решить полученное неравенство методом интеравалов (как и алгебраическое неравенство высших степеней).

Пример. Решить дробное неравенство

Неравенства с модулем

Решение неравенства с модулем сводится к операции раскрытия модуля и решению двух новых получившихся в результате неравенств. Полезно помнить, что решением неравенства |x|0 (-a,a) |x|>a, a>0 (-∞,-a)U(a,+∞).

Пример. Решить неравенство

Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что область определения четного корня является положительная полуось Ох, а областью определения корня нечентной степени является вся числовая ось. Перед решением следует привести неравенство к такому виду, чтобы в левой части находился корень, а в правой некоторая функция (все остальное, что было в примере). Далее рассуждения должны быть следующими (для корня четной степени):

1. Подкоренное выбражение должно быть больше или равно 0 – решаем это неравенство;

   Pages: 1 2